Мегаобучалка Главная | О нас | Обратная связь  


ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №18




 

Тема:Решение задач на нахождение по таблично заданной функции (при п=2), заданной аналитически.

Цель работы:Закрепить и систематизировать знания по теме «Основные численные методы».

Задание: Составить таблицу конечных разностей функций, заданных аналитически, от начального значения х0 до конечного х7, приняв шаг равным h:

1. 3. 4.
2. 3. 5.
3. 7. 6.

Задание: Построить таблицу разностей функции , заданной таблично:

7.
x
y 7,5 -3,5 -6 -2,5 34,5

 

10.
x  
y

 

8.
x
y -3,9 -0,2 6,7 17,4 32,5 52,6 78,3

 

11.
x
y -3 -6 -3

 

9.
x
y -3,9 -5,2 -3,3 2,4 12,5 27,6 48,3

 

12.
x
y

 

Задание: Найти значения первой и второй производных функции, заданной таблично, в точках x=a+bn:

13. x=2,4+0,05n
x 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4
y(x) 3,526 3,782 3,945 4,043 4,104 4,155

n=1

14. x=4,5-0,06n
x 3,6 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6
y(x) 4,222 4,331 4,507 4,775 5,159 5,683

n=5



15. x=1,6+0,08n
x 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
y(x) 10,517 10,193 9,807 8,387 8,977 8,637

n=2

16. x=2,4+0,05n
x 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4
y(x) 3,526 3,782 3,945 4,043 4,104 4,155

n=3

17. x=4,5-0,06n
x 3,6 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6
y(x) 4,222 4,331 4,507 4,775 5,159 5,683

n=7

18. x=1,6+0,08n
x 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
y(x) 10,517 10,193 9,807 8,387 8,977 8,637

n=4

Задание: По табличным данным найти аналитическое выражение первой производной:

19.
x
y

 

20.
x
y -2

 

21.
x
y -1,5 70,5 362,5 1018,5 2182,5

 

22.
x
y 5,5 40,5 127,5 290,5 553,5

 

23.
x
y

 

24.
x
y

 

Задание: Вычислить значения первой и второй производной функции в точке , методом численного дифференцирования. Вычисления вести с четырьмя знаками после запятой:

25.
x
y

=1,5

26.
x
y -2

=2,5

27.
x
y -1,5 70,5 362,5 1018,5 2182,5

=1,25

28.
x
y 5,5 40,5 127,5 290,5 553,5

=1,75

29.
x
y

=2,2

30.
x
y

=2,1

Пояснения к работе:

Необходимые формулы:

Задача численного дифференцирования состоит в приближенном вычислении производных функции f(x) по заданным в конечном числе точек значениям этой функции.

Один из универсальных способов построения формул численного дифференцирования состоит в том, что по значениям функции f(x) в некоторых узлахx0 , x1 , ... , xN строят интерполяционный полином PN(x) (обычно в форме Лагранжа) и приближенно полагают f (r)(x) ≈P(r)N(x),

0 ≤ r ≤ N

В ряде случаев наряду с приближенным равенством удается (например, используя формулу Тейлора) получить точное равенство, содержащее остаточный член R (погрешность численного дифференцирования):

f (r) (x) = P(r)N(x) + R, 0 ≤ r ≤ N

Такие формулы называются формулами численного дифференцирования с остаточными членами. Степень, с которой входит величина (hi=xi - xi-1) в остаточный член, называется порядком погрешности формулы численного дифференцирования. Формулы с отброшенными остаточными членами называются просто формулами численного дифференцирования.

Формулы численного дифференцирования с остаточными членами для первой (r=1) и второй (r=2) производных в узлах, расположенных с постоянным шагом hi≡h > 0:

r=1, N=1 (два узла): f '(x0 ) = (f1 - f0 )/h - hf ''(ξ)/2

f '(x1 ) = (f1 - f0 )/h + hf ''(ξ)/2

 

r=1, N=2 (три узла): f '(x0 ) = (-3f0 + 4f1 - f2)/2h + h2f '''(ξ)/3

f '(x1 ) = (f2 - f0)/2h - h2f '''(ξ)/6

f '(x2 ) = (f0 - 4f1 + 3f2)/2h + h2f '''(ξ)/3

 

r=2, N=2 (три узла): f ''(x0 ) = (f0 - 2f1 + f2 )/h2 - hf '''(ξ)

f ''(x1 ) = (f0 - 2f1 + f2 )/h2 - h2f (4) (ξ)/12

f ''(x2 ) = (f0 - 2f1 + f2 )/h2 + hf '''(ξ)

 

r=2, N=3 (четыре узла): f ''(x0 ) = (2f0 - 5f1 + 4f2 - f3 )/h2 + 11h2f (4)(ξ)/12

f ''(x1 ) = (f0 - 2f1 + f2 )/h2 - h2f (4)(ξ)/12

f ''(x2 ) = (f0 - 2f1 + f3 )/h2 - h2f (4)(ξ)/12

f ''(x3 ) = (-f0 + 4f1 - 5f2 + 2f3 )/h2 + 11h2f (4)(ξ)/12

В приведенных формулах ξ есть некоторая точка (своя для каждой из формул) из интервала (x0 , xN). Остаточные члены этих формул находятся с помощью формулы Тейлора. При этом предполагается, что на отрезке [x0 , xN] у функции f(x) непрерывна производная, через которую выражается остаточный член. При четном N в среднем узле для четной производной порядок точности формулы на единицу больше, чем в остальных узлах. Поэтому рекомендуется по возможности использовать формулы численного дифференцирования с узлами, расположенными симметрично относительно той точки, в которой ищется производная.

Содержание отчета

7. Титульный лист в соответствии с СТП1.2-2005.

8. Цель работы

9. Задание

10. Выполненная практическая работа в соответствии с заданием

11. Ответы на контрольные вопросы

12. Вывод

Контрольные вопросы:

1. Запишите основные задачи численного дифференцирования.

2. Запишите формулы вычисления погрешности вычислений.

3. Запишите 1-ый интерполяционный многочлен Ньютона.

4. Запишите 2-ой интерполяционный многочлен Ньютона.

5. Запишите первую и вторую формулы Ньютона в узлах для вычисления производных на краях таблицы.

 




Читайте также:



©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (2982)

Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...

Система поиска информации

Мобильная версия сайта

Удобная навигация

Нет шокирующей рекламы



(0.014 сек.)