ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №18
Тема:Решение задач на нахождение по таблично заданной функции (при п=2), заданной аналитически. Цель работы:Закрепить и систематизировать знания по теме «Основные численные методы». Задание: Составить таблицу конечных разностей функций, заданных аналитически, от начального значения х0 до конечного х7, приняв шаг равным h:
Задание: Построить таблицу разностей функции , заданной таблично:
Задание: Найти значения первой и второй производных функции, заданной таблично, в точках x=a+bn:
Задание: По табличным данным найти аналитическое выражение первой производной:
Задание: Вычислить значения первой и второй производной функции в точке , методом численного дифференцирования. Вычисления вести с четырьмя знаками после запятой:
Пояснения к работе: Необходимые формулы: Задача численного дифференцирования состоит в приближенном вычислении производных функции f(x) по заданным в конечном числе точек значениям этой функции. Один из универсальных способов построения формул численного дифференцирования состоит в том, что по значениям функции f(x) в некоторых узлахx0 , x1 , ... , xN строят интерполяционный полином PN(x) (обычно в форме Лагранжа) и приближенно полагают f (r)(x) ≈P(r)N(x), 0 ≤ r ≤ N В ряде случаев наряду с приближенным равенством удается (например, используя формулу Тейлора) получить точное равенство, содержащее остаточный член R (погрешность численного дифференцирования): f (r) (x) = P(r)N(x) + R, 0 ≤ r ≤ N Такие формулы называются формулами численного дифференцирования с остаточными членами. Степень, с которой входит величина (hi=xi - xi-1) в остаточный член, называется порядком погрешности формулы численного дифференцирования. Формулы с отброшенными остаточными членами называются просто формулами численного дифференцирования. Формулы численного дифференцирования с остаточными членами для первой (r=1) и второй (r=2) производных в узлах, расположенных с постоянным шагом hi≡h > 0: r=1, N=1 (два узла): f '(x0 ) = (f1 - f0 )/h - hf ''(ξ)/2 f '(x1 ) = (f1 - f0 )/h + hf ''(ξ)/2
r=1, N=2 (три узла): f '(x0 ) = (-3f0 + 4f1 - f2)/2h + h2f '''(ξ)/3 f '(x1 ) = (f2 - f0)/2h - h2f '''(ξ)/6 f '(x2 ) = (f0 - 4f1 + 3f2)/2h + h2f '''(ξ)/3
r=2, N=2 (три узла): f ''(x0 ) = (f0 - 2f1 + f2 )/h2 - hf '''(ξ) f ''(x1 ) = (f0 - 2f1 + f2 )/h2 - h2f (4) (ξ)/12 f ''(x2 ) = (f0 - 2f1 + f2 )/h2 + hf '''(ξ)
r=2, N=3 (четыре узла): f ''(x0 ) = (2f0 - 5f1 + 4f2 - f3 )/h2 + 11h2f (4)(ξ)/12 f ''(x1 ) = (f0 - 2f1 + f2 )/h2 - h2f (4)(ξ)/12 f ''(x2 ) = (f0 - 2f1 + f3 )/h2 - h2f (4)(ξ)/12 f ''(x3 ) = (-f0 + 4f1 - 5f2 + 2f3 )/h2 + 11h2f (4)(ξ)/12 В приведенных формулах ξ есть некоторая точка (своя для каждой из формул) из интервала (x0 , xN). Остаточные члены этих формул находятся с помощью формулы Тейлора. При этом предполагается, что на отрезке [x0 , xN] у функции f(x) непрерывна производная, через которую выражается остаточный член. При четном N в среднем узле для четной производной порядок точности формулы на единицу больше, чем в остальных узлах. Поэтому рекомендуется по возможности использовать формулы численного дифференцирования с узлами, расположенными симметрично относительно той точки, в которой ищется производная. Содержание отчета 7. Титульный лист в соответствии с СТП1.2-2005. 8. Цель работы 9. Задание 10. Выполненная практическая работа в соответствии с заданием 11. Ответы на контрольные вопросы 12. Вывод Контрольные вопросы: 1. Запишите основные задачи численного дифференцирования. 2. Запишите формулы вычисления погрешности вычислений. 3. Запишите 1-ый интерполяционный многочлен Ньютона. 4. Запишите 2-ой интерполяционный многочлен Ньютона. 5. Запишите первую и вторую формулы Ньютона в узлах для вычисления производных на краях таблицы.
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (3577)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |