Основные теоретические положения булевой алгебры

Работа цифровых электронных схем подчиняется законам булевой алгебры (алгебры логики). Решение логических задач осуществляется с помощью логических элементов, базирующихся на математическом аппарате булевой алгебры, разработанной английским математиком Джорджем Булем (1815-1864), в которой все переменные величины (и аргументы, и функции) могут принимать только два логических значения: «1» (логическая единица) и «0» (логический ноль).

Понятия "1" и "0" являются условными, символизирующими состояния, например, релейного устройства: "включено", "выключено", высказывания «истинные» или «ложные». Как отмечалось, в цифровых электронных устройствах применяют сигналы двух уровней напряжения: низкого и высокого.

Логика называется положительной, если высокий потенциал отображает единицу, а низкий, – ноль. Если наоборот, высокий потенциал отображает ноль, а низкий, – единицу, то логика называется отрицательной. Данное правило называют логическим соглашением. Далее будет использоваться способ кодирования, называемый соглашением положительной логики.

В общем случае логическое устройство может иметь n входов и m выходов. Рассматривая входные сигналы х₁, х₂, ..., х_n в качестве аргументов, можно соответствующие выходные сигналы представлять в виде функций у_i=f(х₀, х₁, x₂, ..., х_n) с помощью элементарных операций алгебры логики.

Функции алгебры логики (ФАЛ), иногда называемые переключательными функциями, представляют в нескольких формах:

• в алгебраической (в виде математического выражения);

• в виде таблиц истинности или комбинационных таблиц;

• в виде временных диаграмм;

• встречается также абстрактный вид записи функций алгебры логики.

Для цифрового устройства с двумя входными переменными х₁ и х₂ возможно четыре варианта комбинаций аргументов (входных слов): 00, 01, 10 и 11 и шестнадцать различных выходных функций f_i, (табл. 1).

Название и обозначение функции f, в какой-то мере отображает особенности выполнения логических операций. Нулевая f₀ и единичная f₁₅ функции тривиальны, функции f₃, f₅, f₁₀ и f₁₂ не зависят от одного из аргументов: f₃=х₂, f₅=х₁, f₁₀= и f₁₂= . И только оставшиеся 10 функций являются функциями двух переменных.

Отметим, что многие функции имеют несколько названий. Например, логическая операция неравнозначности для функции f₆ имеет название «исключающее ИЛИ», «сложение по модулю 2»; функция f₇ имеет название логическое «сложение», «дизъюнкция», «ИЛИ». Для обозначения операций логических функций используются специальные символы. Например, в качестве знака операции ИЛИ-НЕ используется символ "↓" (стрелка Пирса), условное обозначение функции f₈=х₁↓х₂; для операции И-НЕ принят символ "/" (штрих Шеффера), обозначение функции f₁₄=х₁/х₂; для операции неравнозначности — символ ⊕ (сложения по модулю 2), обозначение функции f₆=х₁ ⊕ х₂ и т. д.

Таблица 1 - Перечень всевозможных функций для логического устройства с двумя входами и одним выходом