Линейная зависимость и независимость геометрических векторов

Заметим, что в дальнейшем, не нарушая общности, будем рассматривать случай векторов в трехмерном пространстве. На плоскости рассмотрение векторов производится аналогично. Как уже отмечалось выше, все результаты, известные из курса линейной алгебры для алгебраических векторов можно перенести на частный случай геометрических векторов. Так и поступим.

Пусть зафиксированы векторы .

Определение.Сумма , где - некоторые числа, называется линейной комбинацией векторов . При этом указанные числа будем называть коэффициентами линейной комбинации.

Нас будет интересовать вопрос о возможности равенства линейной комбинации нулевому вектору. В соответствии со свойствами и аксиомами векторных пространств, становится очевидным, что для любой системы векторов существует тривиальный (нулевой) набор коэффициентов , для которого это равенство выполняется:

.

Возникает вопрос о существовании для данной системы векторов нетривиального набора коэффициентов (среди которых есть хотя бы один ненулевой коэффициент), для которого выполняется упомянутое равенство. В соответствии с этим будем различать линейно зависимые и независимые системы.

Определение.Система векторов называется линейно независимой, если существует такой набор чисел , среди которых есть хотя бы одно ненулевое, такое что соответствующая линейная комбинация равна нулевому вектору:

.

Система векторов называется линейно независимой, если равенство

возможно лишь в случае тривиального набора коэффициентов:

.

Перечислим доказываемые в курсе линейной алгебры основные свойства линейно зависимых и независимых систем.

1. Любая система векторов, содержащая нулевой вектор, является линейно зависимой.

2. Пусть в системе векторов есть линейно зависимая подсистема. Тогда и вся система также является линейно зависимой.

3. Если система векторов является линейно независимой, то любая ее подсистема также является линейно независимой.

4. Если в системе векторов есть два вектора, один из которых получается из другого умножением на некоторое число, то вся система является линейно зависимой.

Теорема (критерий линейной зависимости).Система векторов является линейно зависимой тогда и только тогда, когда один из векторов этой системы представим в виде линейной комбинации остальных векторов системы.

С учетом критерия коллинеарности двух векторов можно утверждать, что критерием их линейной зависимости является их коллинеарность. Для трех векторов в пространстве справедливо следующее утверждение.

Теорема (критерий линейной зависимости трех геометрических векторов).Три вектора , и линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

Доказательство.

Необходимость.Пусть векторы , и линейно зависимы. Докажем их компланарность. Тогда по общему критерию линейной зависимости алгебраических векторов утверждаем, что один из указанных векторов представим в виде линейной комбинации остальных векторов. Пусть, например,

.

Если все три вектора , и приложить к общему началу , то вектор совпадет с диагональю параллелограмма, построенного на векторах и . Но это означает, что векторы , и лежат в одной плоскости, т.е. компланарны.

Достаточность.Пусть векторы , и компланарны. Покажем, что они линейно зависимы. В первую очередь рассмотрим случай, когда какая-нибудь пара из указанных векторов коллинеарна. В этом случае согласно предыдущей теореме система векторов , , содержит линейно зависимую подсистему и, следовательно, сама является линейно зависимой согласно свойству 2 линейно зависимых и независимых систем векторов. Пусть теперь ни одна пара рассматриваемых векторов не коллинеарна. Перенесем все три вектора на одну плоскость и приведем их к общему началу . Проведем через конец вектора прямые параллельные векторам и . Обозначим буквой точку пересечения прямой, параллельной вектору , с прямой, на которой лежит вектор , а буквой точку пересечения прямой, параллельной вектору , с прямой, на которой лежит вектор . По определению суммы векторов получаем:

.

Так как вектор коллинеарен ненулевому вектору , то существует действительное число такое, что

.

Из аналогичных соображений вытекает существование действительного числа такого, что

.

В результате будем иметь:

.

Тогда из общего критерия линейной зависимости алгебраических векторов получаем, что векторы , , линейно зависимы. ■

Теорема (линейная зависимость четырех векторов).Любые четыре вектора линейно зависимы.

Доказательство. В первую очередь, рассмотрим случай, когда какая-нибудь тройка из указанных четырех векторов компланарна. В этом случае эта тройка линейно зависима в соответствии с предыдущей теоремой. Следовательно, в соответствии со свойством 2 линейно зависимых и независимых систем векторов, и вся четверка линейно зависима.

Пусть теперь среди рассматриваемых векторов никакая тройка векторов не компланарна. Приведем все четыре вектора , , , к общему началу и проведем через конец вектора плоскости, параллельные плоскостям, определяемыми парами векторов , ; , ; , . Точки пересечения указанных плоскостей с прямыми, на которых лежат векторы , и , обозначим соответственно буквами , и . Из определения суммы векторов следует, что

,

,

И, соответственно,

.

Так как вектор коллинеарен ненулевому вектору , то в соответствии с критерием линейной зависимости двух векторов получаем:

.

Из аналогичных соображений следует существование действительных чисел и таких, что

,

.

В результате получаем равенство:

,

которое с учетом общего критерия линейной зависимости алгебраических векторов говорит о том, что все четыре вектора линейно зависимы. ■