Смешанное произведение векторов

Определение.Смешанным произведением векторов на и на (будем обознрачать ) называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор :

.

Геометрический смысл смешанного произведения описывает следующее утверждение.

Теорема.Пусть , , - ненулевые некомпланарные векторы. Тогда смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построеннного на этих векторах, отложенных из одной точки, взятому со знаком плюс, если тройка векторов , , - правая, и со знаком минус, если эта тройка – левая.

Доказательство. Восстановим параллелепипед, как указано в формулировке теоремы (см. рисунок). Площадь параллелограмма, построенного на векторах и , равна числу по определению векторного произведения. Тогда объем параллелепипеда определяется равенством:

,

где - высота параллелепипеда. Пусть - угол между векторами и . Тогда

,

если тройка векторов , , - правая, и

,

Если указанная тройка векторов – левая. В результате имеем:

,

если тройка векторов , , - правая, и

,

если эта тройка векторов – левая. ■

Рассмотрим основные свойства смешанного произведения.

1. Смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов , , является нулевым или если рассматриваемые векторы компланарны.

Доказательство.

Необходимость. Пусть . Предположим, что , , - ненулевые некомпланарные векторы. Тогда в соответствии с последней теоремой объем параллелепипеда, построенного на рассматриваемых векторах равен числу . Следовательно, это число больше нуля, и , что противоречит условию. Значит либо один из векторов является нулевым, либо векторы , , компланарны.

Достаточность.Если хотя бы один из векторов , , - нулевой, то равенство нулю смешанного произведения очевидно. Если векторы , , - компланарны, то вектор ортогонален вектору . Следовательно,

.■

2. Если в смешанном произведении поменять любые два вектора местами, то изменится лишь знак этого произведения.

Доказательство. Если в смешанном произведении хотя бы один из векторов является нулевым или эти векторы компланарны, то утверждение данного свойства сразу следует из предыдущего свойства. Пусть , , - ненулевые некомпланарные векторы. Воспользуемся теоремой итого пункта. При рассмотрении параллелепипеда, построенного на рассматриваемых векторах, замечаем, что любая замена местами векторов приводит лишь к смене ориентации тройки векторов , , . Следовательно, если до такой замены смешанное произведение равнялось объему параллелепипеда, то после замены оно будет равняться этому объему с противоположным знаком, и наоборот. Таким образом, при этой замене меняется лишь знак смешанного произведения. ■

Для нахождения смешанного произведения обычно пользуются следующим утверждением.

Теорема.Пусть в ортонормированном базисе , , заданы три вектора:

,

,

.

Тогда смешанное произведение может быть найдено по формуле:

.

Доказательство. Воспользуемся определением смешанного произведения и формулой для нахождения векторного произведения. В результате будем иметь:

. ■

Пример.Даны вершины тетраэдра , , и . Найти его объем и высоту, опущенную из вершины .

∆ Будем считать, что тетраэдр построен на векторах , и . Тогда его объем, равный шестой части объема параллелепипеда, определяется формулой:

.

Найдем координаты введенных векторов:

,

,

.

Тогда смешанное произведение векторов , и равно:

.

Соответственно,

.

Для нахождения высоты тетраэдра воспользуемся известной формулой:

,

где - высота тетраэдра, опущенная из вершины . Необходимо найти площадь треугольника . Будем считать, что он построен на векторах и . Тогда

.

Воспользуемся формулой для нахождения векторного произведения. В результате будем иметь:

.

Следовательно,

.

Тогда

. ▲