Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между прямыми на плоскости
Обратимся к общему уравнению прямой . Если , то, как уже отмечалось, получаем уравнение прямой, параллельной оси ординат: . Предположим, что данная прямая не параллельна оси ординат. Угол , отсчитываемый в положительном направлении (против часовой стрелки) от положительного направления оси абсцисс до данной прямой, называется углом наклона этой прямой. Число называется угловым коэффициентом прямой. Предположим, что угол наклона данной прямой – острый. Пусть - точка пересечения прямой с осью ординат. Из прямоугольного треугольника видно, что точка лежит на данной прямой тогда и только тогда, когда , если угол наклона прямой – острый, и тогда и только тогда, когда . Таким образом, и в первом, и во втором случае получаем уравнение прямой . Такое уравнение называется уравнением данной прямой с угловым коэффициентом . Рассмотрим задачу нахождения уравнения прямой с заданным угловым коэффициентом и проходящей через данную точку . Уравнение с угловым коэффициентом будет иметь вид , где неизвестным остался коэффициент . Воспользуемся тем, что координаты точки должны удовлетворять уравнению прямой: . Таким образом, получаем следующее уравнение прямой: или . Рассмотрим вопрос о нахождении угла между прямыми. Если две прямые заданы своими общими уравнениями: , , то известны их векторы нормали: и . Угол между прямыми равен углу между этими векторами, т.е. может быть найден по формуле: . В частности, указанные прямые будут параллельны, если векторы нормали будут коллинеарны, т.е. когда координаты этих векторов будут пропорциональны: . Рассматриваемые прямые будут перпендикулярны, если векторы нормали будут ортогональны, т.е. когда =0. Если прямые заданы каноническими уравнениями, то по аналогии с предыдущим случаем угол между ними может быть найден как угол между их направляющими векторами. Рассмотрим теперь случай, когда известны угловые коэффициенты и прямых. Очевидно, что угол между этими прямыми равен разности , где , - углы наклона данных прямых. Тогда . Эта формула и позволяет находить угол с помощью угловых коэффициентов. В частности, условие параллельности имеет вид: . Перпендикулярность прямых равносильна равенству: . Пример.Найти угол между прямыми ∆ Воспользуемся формулой для нахождения угла через коэффициенты общего уравнения: . Следовательно, угол между прямыми равен . ▲ Пример.Найти прямую перпендикулярную к прямой , и проходящую через точку . ∆ Приведем уравнение данной прямой к уравнению с угловым коэффициентом: . Следовательно, ее угловой коэффициент равен , а уравнение искомой прямой, перпендикулярной данной прямой равен . Теперь осталось воспользоваться уравнением прямой с заданным угловым коэффициентом, и проходящей через данную точку: , Откуда получаем уравнение искомой прямой: .
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1052)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |