Как выглядят эпюры касательных напряжений для балок прямоугольного и двутаврового поперечных сечений?

Напомним, что при выводе формулы Журавского мы предполагали, что балка имеет прямоугольное поперечное сечение (рис. 7.11), поэтому

; ; ; , (7.9)

где y – расстояние от точки, в которой определяется касательное напряжение, до нейтральной оси x.

Подставляя выражения (7.9) в формулу (7.8), получим:

.

Отсюда видно, что для балки прямоугольного профиля касательные напряжения изменяются по высоте поперечного сечения по закону квадратичной параболы (см. рис. 7.11).

При , то есть для точек, наиболее удаленных от нейтральной оси, . Для точек, расположенных на нейтральной оси (при ), касательные напряжения достигают максимального значения:

.

Характерной особенностью двутаврового сечения балки является то обстоятельство, что в том месте, где полка соединяется со стенкой, происходит резкое изменение ширины поперечного сечения (рис. 7.12).

Определим касательное напряжение в некоторой точке K.

Для этого проведем через эту точку сечение. Ширина этого сечения равна толщине стенки, то есть . Рассмотрим верхнюю отсеченную часть площади поперечного сечения, которая состоит из площади полки и площади части стенки (обе эти площади на рис. 7.12, а заштрихованы). Статический момент этой отсеченной части площади поперечного сечения относительно нейтральной оси x равен:

.

Эпюра касательных напряжений, возникающих в точках стенки двутавра, имеет вид, показанный на рис. 7.12, б.

Касательные напряжения , возникающие в точках полки двутавра, по формуле Журавского вычислять нельзя, поскольку при ее выводе использовалось допущение о равномерности распределения касательных напряжений по ширине поперечного сечения, что справедливо только в том случае, если ширина сечения невелика. Однако очевидно, что эти напряжения малы и не оказывают практического влияния на прочность балки. Их эпюра показана штриховой линией (см. рис. 7.12, б).

Касательное напряжение в точке L, то есть в том месте, где полка соединяется со стенкой, вычисляется по формуле

.

Как и для балки прямоугольного поперечного сечения, наибольшие касательные напряжения в балке двутаврового профиля возникают в точках, лежащих на нейтральной оси x.

7.30. И все-таки, по какой формуле можно вычислить значения касательных напряжений для балки прямоугольного поперечного сечения, если оно не является узким?

Точное решение задачи, полученное Сен-Венаном, показывает, что касательные напряжения при поперечном изгибе балки не одинаковы по ширине поперечного сечения. Наибольшие касательные напряжения возникают в точках, расположенных по краям нейтральной оси. Значения этих напряжений можно определить по следующей формуле

,

где k – коэффициент, зависящий от отношения сторон .

Так, например, при коэффициент , то есть для узкого поперечного сечения формула Журавского дает практически точное значение. Если же сечение широкое, например, , то тогда коэффициент . Следовательно, формула Журавского занижает максимальные касательные напряжения почти в два раза.