По каким формулам вычисляются экстремальные нормальные напряжения в исследуемой точке тела?

Исключив из формул (6.3) угол , мы получим следующее уравнение

. (6.6)

Значения экстремальных нормальных напряжений можно найти из полученного уравнения (6.6), если положить в нем , поскольку на главных площадках касательные напряжения отсутствуют. Тогда:

(6.7)

Заметим, что формулы (6.7) внешне похожи на формулы (4.9), по которым вычисляются значения главных центральных моментов инерции поперечного сечения стержня.

Отметим также важную закономерность, которая вытекает из выражений (6.7):

,

Следовательно, при плоском НС сумма нормальных напряжений, возникающих на любых двух взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через некоторую точку тела, остается постоянной.

6.11. Как обозначаются главные напряжения?

В общем случае нагружения (при объемном НС)среди бесчисленного множества площадок, проходящих через некоторую точку тела, всегда можно найти три взаимно перпендикулярные главные площадки. Следовательно, в окрестности любой точки деформированного твердого тела всегда можно выделить элементарный параллелепипед, ориентированный в пространстве таким образом, что по его граням будут возникать только нормальные (главные) напряжения (см. рис. 6.2).

Главные напряжения обозначаются через . Индексы расставляются лишь после того, как эти напряжения вычислены, при этом должно выполняться следующее неравенство:

.

Таким образом, – наибольшее по алгебраической величине, а – наименьшее по алгебраической величине нормальное напряжение, возникающее в исследуемой точке тела.

В частном случае нагружения может получиться так, что все три главных напряжения в исследуемой точке тела равны между собой. Тогда любая площадка, проведенная через эту точку, является главной.

В заключение отметим, что именно по значениям главных напряжений дается оценка прочности материала в исследуемой точке деформированного твердого тела (см. далее беседу 8).

6.12. При плоском НС на грани элементарного параллелепипеда с нормалью х полностью отсутствует не только касательное, но и нормальное напряжение. Тогда получается, что эта площадка тоже является главной?

Да. И главное напряжение на этой площадке равно нулю. Иногда такую площадку называют нулевой главной площадкой.

6.13. Пусть, например, для случая плоского НС мы по формулам (6.7) нашли, что экстремальные нормальные напряжения в исследуемой точке равны МПа, а МПа. Как в этом случае расставить индексы у главных напряжений?

В этом случае МПа, МПа, МПа.

Если же, например, получилось, что МПа, а
МПа, то тогда МПа, МПа, МПа.