По какой формуле вычисляются наибольшие касательные напряжения в исследуемой точке тела и на каких площадках они возникают?

Найдем угол наклона площадки , при котором касательное
напряжение , определяемое по формуле (6.3), принимает экстремальное значение. Для этого возьмем производную и приравняем ее к нулю:

Отсюда

. (6.8)

Сопоставляя равенства (6.8) и (6.5), мы видим, что

,

следовательно, или .

Таким образом, для данной точки существуют две взаимно перпендикулярные площадки, на которых возникают равные по закону парности экстремальные касательные напряжения . Эти площадки расположены под углом к главным площадкам
(рис. 6.7), на которых «действуют» главные напряжения и .

Абсолютное значение экстремальных касательных напряжений определяется по формуле

.

В общем случае нагружения на площадках, на которых возникают наибольшие касательные напряжения, возникают и нормальные напряжения. Последние равны половине суммы главных напряжений и .

Если же, например, на площадках, где возникают наибольшие касательные напряжения, нормальные напряжения отсутствуют, то эти площадки называются площадками чистого сдвига.

Вернемся к чистому сдвигу. Чему в этом случае равны главные напряжения и в каких направлениях они возникают?

Напомним, что при чистом сдвиге в поперечных сечениях стержня возникают только касательные напряжения .

По закону парности касательных напряжений .Напряженное состояниев рассматриваемой точке являетсяплоским. Пусть (рис. 6.8).

По формуле (6.4) найдем, что .

Тогда

и .

По формуле (6.6) получим:

.

Следовательно, главные напряжения при чистом сдвиге равны:

.

Их направления показаны на рис. 6.8.

Наибольшие касательные напряжения равны:

.

Таким образом, чистый сдвиг можно рассматривать как простую комбинацию растяжения и сжатия под углом .

ПРЯМОЙ ИЗГИБ

Стержень с прямолинейной осью, работающий на изгиб, называют балкой. Балки являются одним из важнейших элементов всех строительных конструкций, а также многих конструкций, применяемых в машиностроении, кораблестроении и в других отраслях техники.

Первым вопрос о прочности балок поставил в 1638 г. Галилей в своей книге «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки». В 1826 г., то есть спустя почти два столетия, французский ученый Клод Луи Мари Анри Навье (Navier, 1785 – 1836 гг.) практически завершил создание теории изгиба балок. Этой теорией мы, по существу, пользуемся и по настоящее время.

7.1. Какая деформация называется изгибом?

Изгибом называется такой вид деформации, при котором первоначально прямолинейная ось стержня искривляется.

7.2. Какие перемещения возникают при изгибе балки?

В результате изгиба произвольная точка, лежащая на оси балки, перемещается в направлении вертикальной оси y и продольной оси z. Вертикальное перемещение обычно обозначают буквой v и называют его прогибом балки. Продольное перемещение точки обозначают буквой u.

Касательная, проведенная к точке, расположенной на изогнутой оси балки, будет повернута по отношению к прямолинейной оси на некоторый угол. Этот угол, как показывают многочисленные опытные данные, оказывается равным углу поворота поперечного сечения балки, проходящего через рассматриваемую точку.

Таким образом, три величины v, u и являются компонентами перемещения произвольного поперечного сечения балки при изгибе.

В дальнейшем мы покажем, что , поэтому при расчете балки на изгиб продольным перемещением u пренебрегают.

7.3. Какой изгиб называется прямым?

Если балка изгибается в плоскости действия внешней нагрузки, то такой изгиб называется прямым.

Прямой изгиб стержня будет иметь место в том случае, если силовая плоскость совпадает с одной из главных плоскостей. Силовой плоскостью называется плоскость, в которой действуют внешние нагрузки, а главной плоскостью – плоскость, которая проходит через продольную ось стержня z и одну из главных центральных осей инерции поперечного сечения (например, через ось x или ось y).