Чему равны моменты сопротивления при изгибе для балок прямоугольного и круглого поперечных сечений?

Для прямоугольного поперечного сечения (см. рис. 4.4) момент сопротивления при изгибе относительно нейтральной оси x равен:

.

Из этой формулы видно, что при той же самой площади поперечного сечения балки ее момент сопротивления существенно возрастает с увеличением высоты балки h.

Если балка имеет квадратное поперечное сечение со стороной a, то

.

В случае круглого поперечного сечения балки момент сопротивления при изгибе равен

.

Заметим, что для катанных профилей, таких, например, как швеллер, двутавр и уголок, значения моментов сопротивления балки при изгибе (а также другие геометрические характеристики) определяются по сортаментам, которые приводятся в приложениях практически к каждому учебнику по сопротивлению материалов.

7.26. Чему равны нормальные напряжения при поперечном изгибе балки?

В отличие от чистого изгиба, при поперечном изгибе в сечении балки помимо изгибающего момента возникает и перерезывающая сила . Поэтому в поперечном сечении наряду с нормальными напряжениями возникают и касательные напряжения .

На основании закона парности касательных напряжений в продольных сечениях балки возникают касательные напряжения .

Возникновение касательных напряжений в плоскостях, параллельных нейтральной плоскости, покажем на следующем простом примере.

Мысленно представим себе балку прямоугольного поперечного сечения высотой h, шарнирно опертую по концам. Поместим поверх этой балки точно такую же балку. Приложим к этим двум балкам посредине пролета сосредоточенную силу P. Если пренебречь трением между этими балками, изгиб каждой из них будет происходить независимо от изгиба другой балки. При этом у обеих балок будут сжаты верхние и растянуты нижние волокна. В результате нижние продольные волокна верхней балки сместятся относительно верхних волокон нижней балки.

Иную картину мы будем наблюдать в сплошной балке высотой . Никакого смещения верхней части балки относительной нижней мы, естественно, не обнаружим. Отсутствие этого смещения и объясняется возникновением, в данном случае в нейтральном слое, касательных напряжений .

Поскольку при поперечном изгибе в поперечных сечениях стержня возникают касательные напряжения , поперечные сечения балки искривляются (рис. 7.9) и, следовательно, гипотеза плоских сечений нарушается.

Однако теоретические и экспериментальные исследования показали, что если балка является достаточно длинной ( ), то влияние искривления поперечного сечения на значения нормальных напряжений невелико.

Поэтому влиянием сдвигов на закон распределения нормальных напряжений при изгибе пренебрегают и нормальные напряжения вычисляют по той же самой формуле(7.6).

7.27. По какой формуле вычисляются касательные напряжения при поперечном изгибе?

Вырежем из балки прямоугольного поперечного сечения (рис. 7.10, а) элемент длиной и дополнительным продольным сечением рассечем его на две части (рис. 7.10, б).

Рассмотрим равновесие верхней части, в поперечных сечениях которой из-за отличия изгибающих моментов возникают разные сжимающие напряжения. Для того чтобы эта часть балки находилась в равновесии (то есть выполнялось условие равновесия ), в ее продольном сечении должна возникнуть касательная сила . Тогда

.

Отсюда

, (7.7)

где интегрирование ведется только по отсеченной части площади поперечного сечения балки .

Эта часть площади (рис. 7.10, в) нами заштрихована.

В формуле (7.7) – статический момент отсеченной (заштрихованной) части площади поперечного сечения относительно нейтральной оси x.

Будем предполагать, что касательные напряжения , возникающие в продольном сечении балки, равномерно распределены по ее ширине в месте сечения. Это допущение, известное под названием гипотезы Журавского, справедливо только в том случае, когда ширина поперечного сечения много меньше его высоты, то есть сечение является узким.

Тогда и соответственно .

Учитывая формулу (7.7), найдем, что

.

Но, согласно формуле Шведлера – Журавского, , а . Тогда окончательно касательные напряжения , возникающие в точках поперечного сечении балки, находящихся на расстоянии y от нейтральной оси x,определяются по следующей формуле

. (7.8)

Приближенная формула (7.8) впервые была получена в 1855 г. Дмитрием Ивановичем Журавским,и поэтому она носит его имя.