Решите задачи повышенной сложности. 3.1. Функция полезности домохозяйства описывается формулой

3.1. Функция полезности домохозяйства описывается формулой

ТДС,, С₂) = С, х С₂, где С_; — потребление в текущем году;

С₂ — потребление в будущем году.

Доход домохозяйства в текущем году составляет 20 тыс. долл., а в будущем году он составит 10 тыс. долл. Ставка процента равна 5%. Найдите объем потребительских расходов и сбережений домо­хозяйства в текущем и будущем году. Как изменится поведение домохозяйства, если ставка процента возрастет до 25%?

3 2. В 1992 г. самый высокий процент по рублевым вкладам
обещал своим клиентам коммерческий банк "Империал" — 600%

Глава 10. Рынки капитала и земли

годовых. Инфляция в течение года составила приблизительно 900%. Какова была реальная ставка процента, которую получили вклад­чики банка "Империал"?

3.3.Из договора двух коммерческих фирм следует, что сторо­
ны считают эквивалентными суммы 10 тыс. долл. сегодня и 24 тыс.
414 долл. через четыре года. Можно ли по этим данным судить,
какой процент на валютный вклад будут обеспечивать банки в те­
чение четырех ближайших лет?

3.4.На рассмотрение предлагается три инвестиционных про­
екта (данные о суммах вложений и выручки приведены в таблице).

Ставка процента предполагается постоянной и положительной.

На основе метода чистой текущей ценности определите, какой из предлагаемых проектов предпочтительнее. Изменится ли ответ, если реальная ставка процента отрицательна?

3.5. Вы — мэр города. Городу необходим новый спорткомплекс. Спорткомплекс предлагают выстроить две фирмы: одна — в тече­ние двух лет, другая — в течение трех лет. Согласно их сметам, стоимость строительства комплекса по годам составит:

Какой из проектов предпочтительнее? Нужно ли, принимая реше­ние, учитывать прогнозируемую величину ставки процента и почему?

3.6.Некий господин просит у вас деньги в долг, предлагая сле­
дующие условия: и он, и его наследники, и наследники его наслед­
ников и т. д. будут платить вам, вашим наследникам и наследникам
ваших наследников по 400 долларов ежегодно. Какова максималь­
ная сумма, которую вы были бы готовы предоставить этому госпо­
дину в долг, если ставка банковского процента по валютным вкла­
дам постоянна и составляет 10% годовых?

3.7.Зависимость объема выращивания кукурузы (О — центне­
ров с гектара в год) от используемых площадей (X) для фермера
описывается уравнением (2(Х) = 100Х - 1,5Х². Цена центнера куку­
рузы — 6 долларов Каков максимальный размер ренты, которую
может уплатить фермер за пользование землей, если площадь участ-

Примеры решения задач 345

ка — 25 гектаров? Если ставка процента равна приблизительно 5% в год, какова будет цена гектара земли?

' 3.8. Спрос на землю описывается уравнением

О = 100 - 2К, где О — площадь используемой земли;

К — ставка ренты (в млн. рублей за гектар).

Какова будет равновесная ставка ренты, если площадь доступ­ных земельных угодий составляет 90 гектаров? Какова будет цена одного гектара земли, если ставка банковского процента составляет 120%? Государство устанавливает максимальный уровень ренты на уровне 3 млн. руб. за гектар. Как эта мера отразится на благосо­стоянии общества?

Ответы

3.1. Данная задача иллюстрирует проблему межвременных предпочтений (т1;ег1;етрога1 споке). В общем виде межвременное бюджетное ограничение запишется:

С +-А- I I ^ ⁴ 1 + г " ^ 1 + г '

где С₎ — потребление в текущем году;

С₂ — потребление в будущем году;

1_; — доход в текущем году;

1₂ — доход в будущем году,

г — ставка процента.

Если принять цену текущего потребления за 1, то цена по­требления в будущем году (по принципу альтернативной ценности) составит: 1/(1 + г). Запишем условие оптимального выбора потре­бителя (Рс_;/Рс₂ = МК5 — отношение цены текущего потребления к цене потребления будущего года равно предельной норме замены текущего потребления потреблением будущего года) и решим сис­тему из двух уравнений:

С₂ 10 000

С₂ : С, = 1 + 0,05.

Потребление в текущем году составляет приблизительно 14,76 тыс. долл., сбережения — 5,24 тыс долл. В будущем году потребление составит приблизительно 15,5 тыс. долл.

Если ставка процента возрастет до 25%, мы увидим, что по­требление в текущем году снижается до 14 тыс. долл., сбережения возрастают до 6 тыс. долл. В будущем году объем потребления со­ставит 17,5 тыс. долл.

3.2. Если 1 — ставка реального процента, Р — темп роста цен
(уровень инфляции), а К — номинальная ставка процента, то (1 + 1) х
х (1 + Р) = 1 + К или (1 + 1) х (1 + 9) = 1+6. Отсюда реальная ставка
процента составляет (-0,3) или (-30%).

3.3. В данном случае ставка банковского процента определяет­
ся как ставка дисконтирования из формулы РУ = РУ/(1 + г)^п, т. е.

346 Глава 10 Рынки капитала и земли

10 = 24 414/(1 + г)⁴. Отсюда ставка дисконтирования — ставка процента — составляет приблизительно 25% годовых.

3.4. Для определения предпочтительности инвестиционных проектов необходимо сопоставлять чистую текущую ценность (пе1 ргезеп! уа1ие) трех предлагаемых проектов.

В общем виде

ЫРУ = — РУ + РУ

инвестиций выручки

В нашем случае мы можем сопоставлять ЫРУ, не прибегая к подсчетам. Рассмотрим проекты 2 и 3. Очевидно, что текущая цен­ность инвестиций у этих проектов одинакова. Сравнение текущей ценности выручки демонстрирует преимущество второго проекта. Если приводить стоимость выручки к показателям третьего года, то: 100 + 1000/(1 + г) + 400/(1+г)² > 100 + 300/(1 + г) + 1100/ (1 + г)² при положительных значениях г.

Сравним первый и второй проекты По аналогичной процедуре оп­ределяем, что текущая ценность инвестиций выше у первого проекта, а текущая ценность выручки — у второго проекта. Таким образом, мы определяем предпочтительность второго проекта. Если предположить отрицательные значения ставки дисконтирования, то ответ изменил­ся бы: второй инвестиционный проект стал бы наихудшим из трех.

3 5. Принимая решение, какой инвестиционный проект пред­почесть, следует сравнить текущую ценность затрат. Если срок строительства (два или три года) нам безразличен, следует выби­рать проект с наименьшими затратами. Текущая ценность затрат по первому проекту составляет:

2000 + 5000/(1+1), а по второму:

3000+ 2000/(1+1) + 500/(1+ I)², где 1 — реальная ставка процента.

Очевидно, что соотношение текущей стоимости затрат двух фирм зависит от величины ставки процента. Решив неравенство 2000 + 5000/(1+ 0 > 3000 + 2000/(1+ 0 + 500/Ц+О²,

получим ответ (для неотрицательных величин ставки процен­та): 1,83 > 1. Таким образом, если реальная ставка процента в тече­ние трех ближайших лет окажется ниже 183%, предпочтительным будет второй проект. Напротив, если ставка процента окажется выше 183%, предпочтение должно быть отдано второму проекту.

3.6. Максимальная сумма кредита должна быть равноценна потоку ежегодных платежей. Текущая (дисконтированная) стоимость потока текущих платежей составляет:

400/(1 + 0,1) +400/(1 + 0,1)² + 400/(1 + 0,1) 3 +...+ 400/(1 + 0,1) хп при п, стремящемся к бесконечности. По формуле бесконечной гео­метрической прогрессии текущая стоимость потока платежей со­ставит 400/0,1 = 4 тыс. долл.

Следовательно, максимальная сумма кредита, которую вы были бы согласны предоставить этому господину, равна 4 тыс. долл.

Обратите внимание, что характер отношений между вами иден­тичен отношениям между государством-должником и покупателем бессрочной государственной облигации.

Тесты 347

3.7. Известно, что цена ресурса (в данном случае земли) должна быть равна (при ценообразовании на конкурентном рынке ресурсов) предельному продукту ресурса в денежном выражении. Найдем пре­дельный продукт земли. Он составляет:

₃е_Мл„

Тогда предельный продукт земли в денежном выражении: МНР = 600-18Х.₍

Поскольку X = 25, предельный продукт земли в денежном вы­ражении составляет' 600 - 450 = 150 долл. Таким образом, макси­мальная цена, которую фермер будет готов уплатить за гектар зем­ли, равна 150 долл. Цена земли в этом случае составит (рассчитыва­ем по формуле. Цена земли = Арендная плата/Ставка процента в десятичном выражении): 150/0,05 = 3000 долл. за гектар земли.

3.8. Равновесный уровень ренты определим из условия: 100 — - 2Н = 90, откуда К = 5. Цену одного гектара земли найдем по известной нам формуле.

Цена земли = Рента/ Ставка банковского процента = 5/1,2 = = 4,166 млн. руб.

Если государство установит фиксированный уровень ренты, то объем спроса (100-6 = 94) превысит объем предложения земли. Объем чистой экономической ренты, получаемой собственниками земли, сократится с 450 млн. руб. (90 х 5) до 270 млн. руб. (90 х 3). Влияние данного решения на выигрыш покупателя земли оценить количественно невозможно с одной стороны, они выиграют от сни­жения уровня ренты, с другой стороны — будут страдать и проиг­рают от дефицита земли.

Тесты

Вариант А