Теоретические сведения. Парная регрессия – уравнение связи двух переменных у и х: ,

Парная регрессия – уравнение связи двух переменных у и х: ,

где у – зависимая переменная (результативный признак);х – независимая, объясняющая переменная (признак - фактор).Различают линейные и нелинейные регрессии. Нелинейные регрессии делятся на два класса: регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, и регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

Регрессии, нелинейные по объясняющим переменным:

- полиномы разных степеней

- равносторонняя гипербола

Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам:

- степенная

- показательная

- экспоненциальная

При оценке параметров нелинейных регрессий используют МНК, предварительно преобразовывая уравнение к линейному виду:

- для равносторонней гиперболы вида , заменив на z, получим линейное уравнение регрессии: и система нормальных уравнений составит:

- для полулогарифмической кривой , заменив lnx на z, получим линейное уравнение регрессии

Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам, подразделяются на два типа: нелинейные модели внутренне линейные и нелинейные модели внутренне нелинейные. Если нелинейная модель внутренне линейна, то она с помощью логарифмирования уравнения по основанию e или 10 может быть приведена к линейному виду. Например, для оценки параметров степенной функции применяется метод наименьших квадратов к линеаризованному уравнению , т.е. решается система нормальных уравнений: .

Параметр определяется непосредственно из системы, а параметр а – косвенным путем после потенцирования величины lnа.

Нелинейная модель внутренне нелинейная (например, ) не может быть преобразована в уравнение, линейное по коэффициентам. Для оценки параметров в этом случае используют итеративные процедуры.

Тесноту связи изучаемых явлений оценивает индекс корреляции для нелинейной регрессии : ,

где общая дисперсия результативного признака - остаточная дисперсия, определяемая исходя из уравнения регрессии

Для оценки качества подбора функции рассчитывается квадрат индекса корреляции, называемый индексом детерминации. Индекс детерминации характеризует долю дисперсии результативного признака у, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака: .

Коэффициент эластичности, средняя ошибка аппроксимации определяются аналогично линейной парной регрессии (см. лабораторную работу №1).

Оценка значимости уравнения нелинейной парной регрессии в целом дается с помощью F – критерии Фишера и выполняется аналогично оценке значимости уравнения линейной парной регрессии (см. лабораторную работу №1).

Прогнозное значение определяется путем подстановки в уравнение регрессии соответствующего прогнозного значения . Вычисляется средняя стандартная ошибка прогноза:

, где . и строится доверительный интервал прогноза, границы которого определяются как предельная ошибка прогноза.

Постановка задачи

По территориям региона приводятся данные за 199Х год (табл.6).

Таблица 6

Продолжение таблицы 6

Требуется:

1. Для характеристики зависимости y от x:

а) построить показательное уравнение парной регрессии у от х;

б) оценить тесноту связи с помощью индексов корреляции и детерминации;

в) оценить качество показательного уравнения парной регрессии с помощью средней ошибки аппроксимации;

г) дать оценку силы связи с помощью среднего коэффициента эластичности;

д) оценить статистическую значимость результатов регрессионного моделирования с помощью F – критерия Фишера.

е) найти прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза при уровне значимости =0,05 .

2. Проверить полученные результаты с помощью ППП MS Excel.