Проверка выполнимости предпосылок МНК. Статистика Дарбина-Уотсона

Статистическая значимость коэффициентов регрессии и близкое к единице значение коэффициента детерминации не гарантируют высокое качество уравнения регрессии. Поэтому следующим этапом проверки качества уравнения регрессии является проверка выполнимости предпосылок МНК. Причины и последствия невыполнимости этих предпосылок, методы корректировки регрессионных моделей будут рассмотрены в последующих главах. В данном параграфе рассмотрим популярную в регрессионном анализе статистику Дарбина-Уотсона.

При статистическом анализе уравнения регрессии на начальном этапе часто проверяют выполнимость одной предпосылки: условия статистической независимости отклонений между собой. При этом проверяется некоррелированность соседних величин (2.7).

Для анализа коррелированности отклонений используют статистику Дарбина-Уотсона:

. (2.27)

Критические значения и определяются на основе специальных таблиц (приложение 3) для требуемого уровня значимости , числа наблюдений и количества объясняющих переменных .

Выводы об отсутствии автокорреляции остатков осуществляются по следующей схеме (рис. 2.1).

Рис. 2.1

Не обращаясь к таблицам, можно пользоваться «грубым» правилом и считать, что автокорреляция остатков отсутствует, если . Для более надежного вывода целесообразно обращаться к табличным значениям.

Пример.Анализируется объем сбережений домохозяйства за 10 лет. Предполагается, что его размер в текущем году зависит от величины располагаемого дохода и от величины реальной процентной ставки . Статистические данные представлены в таблице 2.1.

Таблица 2.1

Год
, тыс.у.е. , % , тыс.у.е.

Средние значения исходных данных равны: , , .

Представим требующиеся для построения модели множественной регрессии и проведения дальнейшего анализа промежуточные вычисления в таблице 2.2.

Таблица 2.2

Год
	5831,4050	1,8595	282,8512	104,1322	1284,2975	22,9339
	4404,1322	1,8595	139,6694	90,4959	784,2975	16,1157
	1322,3140	0,1322	46,4876	13,2231	247,9339	2,4793
	695,0413	1,8595	46,4876	35,9504	179,7521	9,2975
	267,7686	0,1322	3,3058	5,9504	29,7521	0,6612
	267,7686	0,4050	1,3967	-10,4132	-19,3388	0,7521
	13,2231	0,4050	10,1240	2,3140	11,5702	2,0248
	558,6777	0,1322	1,3967	-8,5950	27,9339	-0,4298
	2876,8595	0,4050	51,5785	34,1322	385,2066	4,5702
	5422,3140	2,6777	173,7603	120,4959	970,6612	21,5702
	6995,0413	2,6777	330,5785	136,8595	1520,6612	29,7521
	28654,5455	12,5455	1087,6364	524,5455	5422,7273	109,7273

Расчет коэффициентов уравнения регрессии производится по формулам (2.17):

Таким образом, эмпирическое уравнение регрессии имеет вид:

Подставляя соответствующие значения и в эмпирическое уравнение регрессии, получаем . Расчет отклонений реальных значений от модельных представлен в таблице 2.3.

Таблица 2.3

Год
		22,489	-2,48873	6,19375	-	-
		23,731	1,26939	1,61134	3,75811	14,1234
		31,01	-1,01008	1,02026	-2,27947	5,19597
		28,698	1,30183	1,69475	2,31191	5,34491
		33,494	1,50614	2,26845	0,20431	0,04174
		37,048	0,95234	0,90696	-0,55380	0,30669
		39,531	0,46856	0,21955	-0,48378	0,23404
		38,461	-0,46142	0,21291	-0,92998	0,86487
		45,741	-1,74089	3,03069	-1,27947	1,63703
		51,778	-1,77846	3,16293	-0,03758	0,00141
		53,02	1,97965	3,91900	3,75811	14,1234
сумма				24,24060	4,46837	41,8734
	36,8182	36,8182

Рассчитаем дисперсию регрессии по формуле (2.19):

.

Определим дисперсии и стандартные ошибки коэффициентов по (2.20):

Рассчитаем по формуле (2.22) соответствующие -статистики:

, , .

Проверим статистическую значимость коэффициентов на основе распределения Стьюдента. По таблице, приведенной в приложении 1, определим критические значения с уровнем значимости : . Таким образом, , , .

По формуле (2.21) определим 95%-е интервальные оценки коэффициентов:

для : (2,962233–2,306×1,8929; 2,962233+2,306×1,8929), т.е. (–1,4028; 7,3273);

для : (0,124189–2,306×0,0212; 0,124189+2,306×0,0212), т.е. (0,0753; 0,1731);

для : (3,553796–2,306×1,0146; 3,553796+2,306×1,0146), т.е. (1,2141; 5,8935).

Рассчитаем коэффициент детерминации по формуле (2.23):

.

Анализ статистической значимости коэффициента детерминации осуществляется на основе -статистики (2.26):

Определим по приложению 2 критическую точку распределения Фишера: с 95%-ой вероятностью. Очевидно, что 175,3722>4,46, следовательно, коэффициент детерминации статистически значим, т.е. совокупное влияние переменных и на переменную существенно.

На основе проведенных рассуждений и вычислений можно заключить, что построенное уравнение регрессии объясняет 97,77% разброса зависимой переменной . Однако для уверенности и обоснованности (чтобы исключить автокорреляцию) проведем исследование с помощью статистики Дарбина-Уотсона.

Рассчитаем статистику по формуле (2.27):

.

По приложению 3 определим критические точки для уровня значимости 0,05 и числа наблюдений 11: .

Таким образом, , т.е. ( ), следовательно, имеются основания считать, что автокорреляция отсутствует. Это является одним из подтверждений высокого качества модели.

По всем статистическим показателям модель может быть признана удовлетворительной.

Нелинейная регрессия

Во многих практических случаях моделирование экономических зависимостей линейными уравнениями дает вполне удовлетворительный результат и может использоваться для анализа и прогнозирования. Однако многие экономические зависимости не являются линейными по своей сути, и поэтому их моделирование линейными уравнениями регрессии не даст положительного результата.

Построение и анализ нелинейных моделей имеют свою специфику. Рассмотрим нелинейные модели, допускающие сведение их к линейным. Такие модели называют линейными относительно параметров моделями. Будем рассматривать модели парной регрессии с целью простоты изложения и графической иллюстрации.