Частотные характеристики динамических звеньев

 

Основные частотные характеристики

Аналитическое выражение для комплексного коэффициента передачи W(jω) можно получить по операторной передаточной функции W(s), приравняв в переменной Лапласа s = σ + jω действительную часть σ нулю. Из комплексной передаточной функции

 

получают амплитудную (АЧХ) A(ω) = A_вых(ω)/A_вх, фазовую (ФЧХ) φ(ω) = φ_вых(ω) - φ_вх, действительную (ВЧХ) P(ω) = ReW(jω) и мнимую (МЧХ) Q(ω) = ImW(jω) частотные характеристики, связанные соотношениями

, ;

, .

Если представить комплексный коэффициент передачи в виде дроби

,

 

то амплитудная характеристика будет равна

 

,

 

а фазовая характеристика

 

.

 

Обобщающей является амплитудно-фазовая частотная характе­ристика (АФЧХ или просто АФХ) – кривая (годограф), которую чертит на комплексной плоскости конец вектора W(jω) при изменении частоты ω от 0 до +∞.

В ходе расчетов следует отбросить отрицательные, мнимые и комплексные частоты и по возможности сократить получающиеся выражения для действительной и мнимой частей на ω.

При построении частотных характеристик учитывают гладкость кривой (при разрывах годограф изменяется асимптотически), указывают на графике стрелкой направление увеличения частоты и/или крайние частоты. В каком бы порядке не были расположены частоты в таблице, построение кривой следует всегда производить по возрастанию значений частоты.

Быстрая проверка правильности расчетов:

- АФЧХ и АЧХ начинаются при значении b_m/a_n = k_уст;

- АФЧХ и АЧХ заканчиваются в нуле (m<n) или при b₀/a₀ (для m= n);

- АФЧХ устойчивой системы, не имеющей нулей, проходит по часо­вой стрелке столько квадрантов, каков порядок характеристического полинома.

Реакцию системы на гармоническое воздействие любой частоты ω в показательной форме получают путем умножения на А(ω) ампли­туды входного сигнала и добавления φ(ω) к его фазе.

Пример 1. Построить частотные характеристики системы с ПФ W(s) = 2/(s²+5s+6).

Подставляем s=jω, учитывая, что , снижаем порядок j
(j² = -1; j³ = -j и т.п.), избавляемся от мнимости в знаменателе, умножая числитель и знаменатель дроби на комплексное выражение, сопряженное стоявшему в знаменателе, отделяем действительную и мнимую части, приводим в знаменателе подобные члены

 

.

 

В данном случае числители и знаменатели дробей (действительной и мнимой частей) на ω сократить нельзя. Составляем таблицу (таблица 3.4), используя обязательные значения частот (можно взять больше точек, но не меньше), и подставляем эти значения:

- крайние частоты 0 и +∞;

- частоты пересечения характеристик с осями (определяются путем приравнивания числителей дробей мнимой и действительной части к нулю и решения полученного уравнения);

- частоты разрыва характеристики (находят, приравнивая знаменатель нулю и решая уравнение) и близкие к ним (чуть больше-чуть меньше) частоты;

- прочие частоты для повышения точности расчета.

 

Таблица 3.4

ω	Re(ω)	Im(ω)	A(ω)	φ(ω)
	0,33		0,3
∞				~
2,45		-0,16	0,16	-90°
1,00	0,20	-0,20	0,28	-45°
3,00	-0,03	-0,14	0,14	-120°

 

Приравнивая Re(ω) = 0, получаем 6 - ω² = 0, откуда ω = 2,45.

Приравнивая Im(ω) = 0, получаем 10ω = 0, откуда ω = 0.

По виду биквадратного уравнения 36+13ω²+ω⁴=0 определяем, что частот разрыва (действительных корней) нет. Частоты 1 и 3 рад/с добавлены произвольно для более точного построения графика.

По одной таблице можно построить АФЧХ на комплексной плоскости (рисунок 3.1, а), индивидуально ВЧХ и МЧХ (рисунок 3.1, б), и после дополнительных расчетов АЧХ и ФЧХ (рисунок 3.1, в).

 

а б в

Рисунок 3.1

 

Пример 2. Записать аналитически реакцию системы с известными АЧХ и ФЧХ (рисунок 3.2) на воздействие х(t) = 3,5sin(t).

 

 

Рисунок 3.2

 

Общий вид гармонического сигнала Asin(ωt + φ). Следовательно, входное воздействие характеризуется параметрами: амплитуда 3,5, фаза 0 рад, частота ω = 1 рад/с. Находим для этой частоты по графику A(ω) = 0,36; φ(ω) = -45° = -0,785 рад.

Отсюда амплитуда выходной величины равна 3,5·0,36 = 1,26; фаза выходной величины 0 – 0.785 рад и окончательный вид реакции y(t) = 1,26sin(t – 0,785).

Пример 3. При воздействии x(t) = 2sin10t найти сигнал на выходе системы с передаточной функцией W(s) = 4/(0,1s + 1).

Получаем по ПФ аналитические выражения для АЧХ и ФЧХ

; .

 

Для известной частоты 10 рад/с значения АЧХ и ФЧХ равны ; . Выражение для выходного гармонического сигнала .

 

 

В тех случаях, когда протекающие процессы в САУ изучены слабо, и вывод ДУ, описывающих эти САУ, затруднен, в основу математического моделирования кладут не уравнения движения, а так называемые частотные характеристики (ЧХ) систем.

 

 

Частотные характеристики динамических звеньев

 

Если на вход стационарного ДЗ (рисунок 3.3) действует гармонический сигнал

 

, (3.6)

 

то на выходе ДЗ установится также гармонической сигнал

 

(3.7)

 

той же угловой частоты w, но с измененными амплитудой Ymи начальной фазой y2(рисунок 3.3). Эти изменения зависят как от свойств самого ДЗ, так и от угловой частоты входного воздействия.

Отношение амплитуд выходного и входного сигналов

 

и разность их фаз

j(w) = y2- y1

 

являются функциями частоты. Их называют соответственно амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) и фазово-частотной характерис­тикой (ФЧХ) звена.

 

Рисунок 3.3

t

Xm

Ym

j

y1

y2

x(t)

y(t)

x, y

 

 

Эти характеристики показывают, что линейное ДЗ изменяет амплитуду и фазу гармонического сигнала: в установившемся режиме амплитуда уменьшается или увеличивается в A раз, а фазовый сдвиг уменьшается или увеличивается на j градусов (радиан) при изменении угловой частоты w. Частотные характеристики зависят от свойств ДЗ, но не зависят от амплитуды и фазы входного воздействия. АЧХ может служить для оценки фильтрующих свойств, а ФЧХ – инерционных свойств ДЗ.

Частотные характеристики всякого элемента САУ связаны с его ПФ W(s). Подставляя в выражение ПФ вместо оператора Лапласа s мнимую величину jw, получают комплексную функцию частоты W(jw), которую называют частотной передаточной функцией. Эта функция при любой частоте w является комплексной величиной и поэтому может быть представлена в показательном виде

 

, (3.8)

 

где A(w); j(w) – соответственно модуль и аргумент частотной ПФ,

 

, (3.9)

 

. (3.10)

Следовательно, модуль и аргумент частотной ПФ определяют соответственно АЧХ и ФЧХ звена.

Частотная ПФ, как комплексная функция, может быть также представлена и в алгебраическом виде

 

, (3.11)

 

где U(w); V(w) – функции частоты, называемые соответственно вещественной (действительной) и мнимой ЧХ.

Они не имеют конкретного физического смысла, но используются в расчетах и определяются по формулам:

 

U(w) = ReW(jw); (3.12)

 

V(w) = ImW(jw). (3.13)

 

Частотные характеристики связаны между собой известными соотношениями (рисунок 3.4):

 

(3.14)

и

(3.15)

 

Если частотная ПФ задана в алгебраи­ческом виде (3.11), преобразование ее к показательному виду (3.8) осуществляют по формулам (3.14). Соотношения (3.15) позволяют осуществить при необходимости обратное преобразование.

 

+j

U(w)

V(w)

A(w)

j(w)

w=0

W(jw)

w=±¥

w<0

w>0

+1

Рисунок 3.4

 

Кроме аналитического описания ЧХ изображают графически в декартовых координатах. Построение АЧХ и ФЧХ осуществляют по формулам (3.9) и (3.10). На рисунках 3.5 и 3.6 изображены в самом общем виде соответственно АЧХ и ФЧХ обыкновенных инерционных ДЗ или САУ.

К обычным ЧХ относят ампли­тудно-фазовую частотную характе­ристику (АФЧХ). АФЧХ представляет собой годограф частотной ПФ W(jw), т.е. геометрическое место концов вектора W(jw) при изменении частоты w от 0 до ±¥. Эту характеристику строят на комплексной плоскости в полярных (A, w) или декартовых (U, V) координатах конца вектора W(jw) по формулам (3.8), (3.9) или (3.11), (3.12).

Типичный годограф W(jw) обыкно­венного инерционного ДЗ показан на рисунке 3.2 в диапазоне частот -¥ < w < +¥. Рабочая ветвь годографа соответствует физически реализуемым положительным частотам w >0. Фазовые углы j(w) отсчитывают от положительной действительной полуоси (+1) против движения часовой стрелки. Инерционные звенья характеризуются отрицательными фазовыми углами j(w) < 0.

 

Рисунок 3.6

j

j2

w1

w2

j1

w

j(w)

Рисунок 3.5

w

0,5

1,0

1,5

2,0

A

Aрез

wрез

wср

wп

A(w)

A(0)=1

A(w)=0,707