Реакция на произвольное воздействие
Для решения дифференциального уравнения (нахождения реакции системы) с помощью преобразования Лапласа необходимо: - найти корни характеристического уравнения ; - найти изображение реакции умножением ПФ на изображение входа по Лапласу Y(s) = W(s)×X(s) и записать его в виде суммы простых дробей по теореме разложения в соответствии с корнями характеристического уравнения; - найти коэффициенты числителей дробей (вычеты в полюсах); - найти оригинал для каждой дроби по таблице соответствия и записать конечное решение в виде суммы отдельных оригиналов. Рекомендуется: а) перед вычислением корней обязательно нормировать ПФ по старшему коэффициенту при sn знаменателя; б) не сокращать существующие нули и полюса с положительной действительной частью, ведущие к неустойчивости системы, если их части не являются целыми числами; остальные нули и полюса могут быть сокращены перед переходом во временную область; в) для кратных полюсов записывать дробями все степени корня от наибольшей до первой в порядке их убывания; г) комплексные сопряженные корни представлять одним общим квадратным трехчленом. После разложения на простые дроби и вычисления вычетов полезно проверить правильность результата. Первое правило проверки – сумма дробей правой части должна быть равна изображению в левой части равенства. Второе правило проверки – сумма всех составляющих оригинала при t = 0 (начальное значение оригинала) в соответствии со свойствами преобразования Лапласа должна быть равна . Пример 1. Используя преобразование Лапласа, найти оригинал реакции на воздействие e–2t системы с ПФ W(s) = 4e-s/(s + 2). Находим изображение по Лапласу входного воздействия X(s) = 1/(s + 2), умножаем его на передаточную функцию системы, получаем изображение реакции
.
При переходе от изображения к оригиналу коэффициент 4 сохраняется, полюс -2 образует составляющую e–2t, а поскольку он кратный (два одинаковых корня), то появляется составляющая t, и, наконец, оператор сдвига e–sτ при τ = 1 с создаёт запаздывание во времени, которое отображается скачком со сдвигом вида 1(t – τ) или, в данном случае, 1(t – 1). Окончательно оригинал равен y(t) = 4te–2t×1(t – 1). Пример 2. Найти начальное, конечное значения и аналитическую запись для оригинала, если изображение по Лапласу отклика системы равно F(s) = 3/s/(s + 1). Начальное значение оригинала (при t = 0+) вычисляется как предел , для производной по времени n-го порядка от функции x(t) производится умножение изображения на sn+1, т.е. . Поэтому
.
Конечное значение оригинала (при t = ∞) для устойчивых систем также вычисляется как предел
.
Для полной записи оригинала разлагаем изображение на простые дроби в соответствии с полюсами, находим вычеты a и b в полюсахметодом подстановки полюсов (приложение Б)
.
По таблице соответствия оригиналов и изображений (приложение А) записываем оригинал в виде формулы f(t) = 3 – 3e–t. Проверка: при t = 0 значение оригинала равно нулю, при t = ∞ соответственно 3.
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (876)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |