Критерий Льенара-Шипара
Критерий Льенара-Шипара. При удобнее применять одну из модификаций критерия Гурвица, называемую критерием устойчивости Льенара-Шипара (1914 г.), который проще и требует раскрытия меньшего числа определителей, чем критерий Гурвица. Число условий устойчивости при его применении существенно снижается. По этому критерию САУ устойчива, если при только или , где . Например, при , САУ устойчива, если (обычно ).
Задание:
Ø Задание 7.1
С помощью алгебраического критерия Гурвица, Льенара-Шипара определить устойчивость линейной системы автоматического управления со следующей структурной схемой (обратная связь отрицательная):
при K = 10; Т1= 0,5с; Т2= 0,5с; Т3= 0,07с; Т4= 0,01с.
Ø Задание 7.2
Выполнить приведенное выше задание 7.2 при следующих параметрах САУ: K = 1000, Т1= 0,5с, Т2= 0,1с, Т3= 0,02с, Т4= 0,01с.
Ø Задание 7.3
Выполнить приведенное выше задание 7.1 при условии, что в структурной схеме САУ обратная связь положительная.
Ø Задание 7.4
С помощью алгебраического критерия Гурвица определить устойчивость линейной системы автоматического управления со следующей структурной схемой:
при K = 100; Т = 0,1с; ξ = 0,3.
Ø Задание 7.5 С помощью алгебраического критерия Рауса, Льенара-Шипара определить устойчивость линейной системы автоматического управления со следующей структурной схемой:
при K = 100; Т = 0,1с; ξ = 0,3. Ø Задание 7.6 С помощью алгебраического критерия Гурвица, Льенара-Шипара определить устойчивость линейной системы автоматического управления со следующей структурной схемой:
при K = 10; Т1= 0,1с; ξ = 0,3; T2= 1; T3= 0,5.
Ø Задание 7.7
С помощью алгебраического критерия Гурвица, Льенара-Шипара определить устойчивость линейной системы автоматического управления со следующей структурной схемой:
при K1= 100; Т1= 0,5с; ξ 1= 0,05; Т2= 0,2с; Т3= 0,001с; ξ3= 0,5; K2 = 100; Т4= 0,05.
Ø Задание 7.8 С помощью алгебраического критерия Рауса, Льенара-Шипара определить устойчивость линейной системы автоматического управления со следующей структурной схемой:
при K1= 10; T1= 0,1с; ξ 1= 0,3; T2 = 1; K2= 50; T3= 0,5; ξ 3= 0,03; Т4= 0,5; Т5= 0,01.
Ø Задание 7.9 С помощью алгебраического критерия Рауса, Льенара-Шипара определить устойчивость линейной системы автоматического управления со структурной схемой, приведенной в задании 7.1 , при следующих условиях: W1= p; W2= 100/(0,5p+1); W3= W4= W5= 1/(p2+p+1); W6= W7= 1/p.
Указания по выполнению работы:
Пример 7.1 С помощью алгебраического критерия Гурвица определим устойчивость линейной системы автоматического управления со следующей структурной схемой (обратная связь отрицательная):
при K = 10; Т1= 0,5с; Т2= 0,1с; Т3= 0,02с; Т4= 0,01с. Решение
Пример 7.2 Определим устойчивость системы с помощью алгебраического критерия Гурвица. Уравнение непрерывной части системы описывается уравнением (1). Объект управления (ОУ) описывается линейным дифференциальным уравнением третьего порядка:
(1)
Пусть Т1 = 8, Т2 = 12, Т3 = 5, k = 3. Коэффициент Тn = 0.175 в первой контрольной работе не используется. Уравнение (1) примет вид:
(2)
Передаточная функция ОУ в общем случае может быть представлена в виде отношения , где и – изображения по Лапласу выходной и входной переменных ОУ, соответствующих левой и правой частям уравнения 1. Отсюда, передаточная функция будет иметь вид:
, (3) или . (4)
Воспользуемся алгебраическим критерием устойчивости Рауса-Гурвица в форме Гурвица. Рассмотрим характеристический полином передаточной функции системы . .
Из коэффициентов характеристического полинома составим матрицу: Критерий устойчивости Гурвица сводится к тому, что должны быть больше нуля все диагональные миноры данной матрицы. Проверим: , первый минор положителен; , второй минор положителен. Так как в последнем столбце матрицы Гурвица все элементы, кроме нижнего, равны нулю, то последний определитель выражается через предпоследний следующим образом: , третий определитель также положителен. Следовательно, в разомкнутом состоянии система устойчива. Используем критерий Гурвица для системы в замкнутом состоянии. Передаточная функция (ПФ) замкнутой системы по отношению к разомкнутой ПФ представляется выражением: . (5) Отсюда, . Также как и для разомкнутой системы, составим матрицу из коэффициентов характеристического полинома ПФ. Проверим знак всех диагональных миноров. , первый минор положителен;
, второй минор положителен. Третий минор . Непрерывная часть в замкнутом состоянии устойчива. Пример 7.3 Расчет устойчивости систем по критерию Гурвица. Рассчитать устойчивость системы, заданной следующей структурной схемой (рис 7.3)
Рисунок 7.3
W1(P)=k1; W2(P)= ;W3(P)= ; W4(P)= .
Параметры звеньев: k1=12; k2=80; k3=0.15; k4=2; T2=0.5; T3=10; T4=2.
Запишем эквивалентную передаточную функцию системы
Wзам(р) = .
Запишем передаточную функцию системы, разомкнутой по главной обратной связи. Wраз(p) = W1(P) ×W2(P) ×W3(P) ×W4(P) = . Характеристическое уравнение системы.
D(p)=1+ Wраз(p)=0 ® D(p)=1+ = 0;
Kэ+(Т2Т3р3+Т2р2+Т4р+р)(Т32р2+2Т3р+1)=0; Kэ=К1К2К3К4;
Kэ + Т2Т4Т32 р5 + (2Т2Т4Т3 + Т2Т32 + Т4Т32) р4 + (Т4Т2 + 2Т2Т3 + 2Т4Т3 + Т32) р3 +
Подставляя численные значения, получаем:
Т.к. все коэффициенты положительны, то первое условие Гурвица выполняется. Составим матрицу из коэффициентов характеристического уравнения и вычислим определители:
D1=270>0; D2=270•151-100•22,5=38520>0
Т.к. D4 меньше нуля то система неустойчива.
Критерий Рауса. Коэффициенты первого столбца таблицы должны быть положительны.
100р5+270р4+151 р3+ 22,5р4+ р+288=0
Т.к. с15<0, то система неустойчива.
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (2068)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |