Указания по выполнению работы №1
Рассмотрим построение годографа Михайлова по характеристическому полиному САУ:
(8.6)
Подставив в характеристический полином (8.6) вместо λ мнимую переменную jω, получим комплексную функцию
(8.7) После возведения переменной jω в соответствующие степени выражение можно разбить на вещественную и мнимую части
(8.8) где (8.9) Задаваясь дискретными значениями w от 0 до Ґ, можно вычислить соответствующие им значения UD(w) и VD(w) и по ним на комплексной плоскости построить годограф Михайлова (Рисунок 8.12). В последнем квадранте годограф должен уйти в бесконечность. На рисунке 8.12(а) изображены годографы устойчивых, а на рисунке 8.12(б) – неустойчивых систем.
Рисунок 8.12 Годограф Михайлова Пример 8.1 Определим устойчивость системы с помощью критерия Михайлова. Уравнение непрерывной части системы описывается уравнением (8.10). Объект управления (ОУ) описывается линейным дифференциальным уравнением третьего порядка:
(8.10)
Пусть Т1 = 8, Т2 = 12, Т3 = 5, k = 3. Коэффициент Тn = 0.175 в первой контрольной работе не используется. Уравнение (1) примет вид:
(8.11)
Передаточная функция ОУ в общем случае может быть представлена в виде отношения , где и – изображения по Лапласу выходной и входной переменных ОУ, соответствующих левой и правой частям уравнения 1. Отсюда, передаточная функция будет иметь вид:
, (8.12) или . (8.13)
Подставим iω в выражение (8.13) вместо p. Получим: . (8.14)
Используем критерий устойчивости Михайлова для незамкнутой системы. Этот критерий является графоаналитическим. Построим годограф Михайлова на основе полинома ПФ незамкнутой системы.
(8.15)
Рисунок 8.13 - Годограф Михайлова для незамкнутой системы
Порядок системы n = 3. Поэтому для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова, начинаясь на действительной оси, проходил последовательно через три квадранта, уходя в бесконечность в n-том квадранте. Что и происходит в действительности. По аналогии с незамкнутой системой применим критерий Михайлова к замкнутой системе. Передаточная функция (ПФ) замкнутой системы по отношению к разомкнутой ПФ представляется выражением: . (8.16) Отсюда, .
Подставим iω в выражение (6) вместо p. Получим: . (8.17)
Используем критерий устойчивости Михайлова для замкнутой системы. Этот критерий является графоаналитическим. Построим годограф Михайлова на основе полинома ПФ замкнутой системы. . По виду годографа определяем, что замкнутая система устойчива, так как годограф последовательно проходит три квадранта.
Рисунок 8.14 - Годограф Михайлова для замкнутой системы Пример 8.2 Расчет устойчивости систем. Рассчитать устойчивость системы, заданной следующей структурной схемой (рис 8.15.) и построить кривую Михайлова.
Рис. 8.15
W1(P)=k1; W2(P)= ;W3(P)= ; W4(P)= . Параметры звеньев: k1=12; k2=80; k3=0.15; k4=2; T2=0.5; T3=10; T4=2.
Запишем эквивалентную передаточную функцию системы
Wзам(р) = . Запишем передаточную функцию системы, разомкнутой по главной обратной связи. Wраз(p) = W1(P) ×W2(P) ×W3(P) ×W4(P) = . Характеристическое уравнение системы. D(p)=1+ Wраз(p)=0 ® D(p)=1+ = 0;
Kэ+(Т2Т3р3+Т2р2+Т4р+р)(Т32р2+2Т3р+1)=0; Kэ=К1К2К3К4;
Kэ + Т2Т4Т32 р5 + (2Т2Т4Т3 + Т2Т32 + Т4Т32) р4 + (Т4Т2 + 2Т2Т3 + 2Т4Т3 + Т32) р3 +
Подставляя численные значения, получаем:
Критерий Михайлова.
Уравнение характеристического вектора получим из характеристического уравнения заменой оператора р®jw. D(p)= 100р5+270р4+151 р3+ 22,5р2+ р+288=0;
D(jw)=100( jw)5+270 (jw)4+151( jw)3+22,5( jw)2+jw+288 = 100jw5+270jw4-151jw3- -22,5jw2+jw+288 = (288-22.5w2+270w4)+jw(1-151w2+100w4)=Re(w)+Im(w). Изменяя w в интервале 0<w<¥, рассчитываем Re(w) и Im(w) и заносим в таблицу 1. Таблица 1
Т.к. годограф начинается на положительном отрезке вещественной оси (рис. 8.16.), но не обходит 5 квадрантов, то система неустойчива.
Пример 8.3 По критерию устойчивости Михайлова определить устойчивость САУ по заданному характеристическому полиному: Годограф Михайлова построим примерно, определив координаты пересечения его с осями координат. С учетом того, что годограф Михайлова строится при изменении w от 0 до +¥, определим положительные корни уравнения : и неотрицательные корни уравнения : Координаты пересечения годографа Михайлова с осями координат (в порядке возрастания частоты): 1) 2) 3) 4) 5) Примерный вид годографа Михайлова для полученных данных показан на рис.8.17. Исследуемая система устойчива.
Y
0 Х
Рис.8.17
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (606)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |