Частотные методы оценки качества регулирования

Качество переходных процессов в системах и объектах при гармонических воздействиях оценивают по частотным характеристикам, снятым экспериментально или рассчитанным по параметрам математической модели. В этом случае получают частотные критерии качества переходных процессов, которые относят к косвенным критериям.

Частотные критерии определяют по одной из частотных характеристик: амплитудно-фазовой, амплитудной, вещественной или логарифмической амплитудной.

Различные частотные характеристики замкнутой САУ связаны следующим соотношением:

 

. (15.5)

 

Для минимально-фазовых систем, у которых все полюсы и нули передаточной функции имеют отрицательные или равные нулю действительные части, АЧХ и ФЧХ однозначно связаны, поэтому по АЧХ можно определить свойства САУ, в том числе и качество переходных процессов.

По АЧХ (рис. 15.9), в основном, оценивают колебательность и длительность переходной характеристики .

 

 

wр

wсwпрwзпрwгрw

A3(w)

A3м

0,707

А3(0)

 

 

Рис. 15.9 - АЧХ замкнутой САУ

 

К о л е б а т е л ь н о с т ь определяется по величине относительного максимума АЧХ, называемого показателем колебательности , который является косвенным показателем колебательности САУ :

 

.

(15.6)

 

Например, для колебательной САУ 2-го порядка (кривая 1 на рис. 15.9 ):

 

, ; .

 

В случае (кривая 2 на рис. 15.9) переходная характеристика системы неколебательна. При появляетсяколебательность и чем больше , тем она больше. При и колебательность возрастает до получения незатухающих колебаний с частотой , соответствующих границе устойчивости САУ (пара сопряженных мнимых полюсов ).

Из соотношения следует, что в диапазоне частот, где

 

, а ;

 

при , а .

При

, , ; максимум , а .

Обычно рекомендуется . При этом переходная характеристика имеет слабуюколебательность с частотой, близкой к частоте резонансного пика АЧХ с , - запас САУ по фазе на частоте среза . Допустимо в САУ и значение от до .

Д л и т е л ь н о с т ь переходной характеристики определяется шириной : чем шире АЧХ САУ, тем короче , т.е. меньше .

Длительность может быть оценена в первом приближении по значению , так как частота колебаний переходной характеристики примерно равна . Учитывая, что время близко к половине периода колебаний этой частоты, можно определить:

 

, а . (15.7)

 

Если САУ в течение имеет 1¸2 колебания, то ; так как , то . Для оценки быстродействия САУ используются также частота среза , полоса пропускания САУ , эквивалентная полоса пропускания САУ .

Колебательность и длительность переходной характеристики замкнутой САУ в первом приближении могут быть оценены непосредственно по параметрам ЛАХ разомкнутой САУ: частоте среза и величинам запасов устойчивости по фазе и амплитуде. В случае колебательной переходной характеристики резонансная частота АЧХ замкнутой САУ близка к частоте среза ЛАХ разомкнутой САУ. Поэтому значения и могут быть определены аналогично при подстановке , например в случае неколебательной , .

Колебательность считается допустимой, если ЛАХ на частоте среза имеет наклон в минус 20 дБ, чем шире участок с таким наклоном, тем меньше колебательность. При ширине этого участка около одной декады и нахождении ближе к его концу перерегулирование в САУ не будет превышать 20-30 %. Если запас по фазе , запас по амплитуде минус 6 дБ, то имеет слабую колебательность.

В силу соотношения (15.5) колебательность и длительность переходного процесса могут быть определены по вещественной (действительной) частотной характеристике (ВЧХ) замкнутой САУ.

Детальные и более точные зависимости, связывающие показатели качества системы с частотными характеристиками, имеются в учебной и справочной литературе по ТАУ. Для познания сути вопроса важны следующие выводы.

1. Близкие по форме АЧХ и ВЧХ САУ имеют близкие по качеству переходные процессы.

2. Частота определяет быстродействие САУ, т.е. чем больше , тем меньше . Но при значительных вместе с полезным сигналом проходят и помехи, поэтому не следует стремиться делать чрезмерно большой.

3. Наличие пика в АЧХ ( ) и ВЧХ говорит о колебательности САУ.

4. Если в АЧХ или ВЧХ САУ имеется разрыв на определенной частоте , то в САУ на этой частоте возникают незатухающие колебания (САУ находится на колебательной границе устойчивости).

5. Если АЧХ или ВЧХ имеет разрыв при , то в САУ имеет место апериодическая граница устойчивости.

6. Острый пик АЧХ или ВЧХ при говорит о сильной колебательности с частотой, близкой к и значительном .

7. С увеличением возрастают , , , и уменьшается ; следовательно, увеличение ведет к ухудшению качества САУ.

8. Оценки качества переходных процессов в общем случае могут быть определены по соответствующим характеристикам разомкнутой САУ, благодаря связи АЧХ и ФЧХ замкнутой и разомкнутой САУ.

Изложенное выше относится к минимально-фазовым системам; однако в первом приближении рассмотренные оценки качества переходных процессов могут быть применены и к неминимально-фазовым системам. При этом погрешность тем больше, чем больше различаются ФЧХ САУ.

Особые частоты: ω₊ – граница интервала частот положительности ВЧХ, ω₀ – частота собственных колебаний, ω_сущ – граница интервала существенных частот, вне которого текущее значение функции уже не превышает (0,05…0,1)P(0).

Общие принципы оценки качества по вещественной частотной характеристике P(ω):

- P(0) = h(∞) = k_уст – конечное значение переходной характеристики численно равно начальному значению ВЧХ;

- P(∞) = h(0) – начальное значение переходной характеристики численно равно конечному значению ВЧХ;

- a·P(ω) ÷ a·h(t) – кратность изменения масштаба ВЧХ и переходной характеристики одинакова;

- P(a·ω) ÷ h(t/a) – расширение полосы рабочих частот ведет к соразмерному повышению быстродействия системы;

- время регулирования π/ω₊<t_рег<4π/ω₊,

- перерегулирование σ определяется по форме ВЧХ:

а) если ВЧХ монотонно убывает, то перерегулирование σ = 0;

б) если ВЧХявляется положительной невозрастающей функцией, то перерегулирование σ < 18 %;

в) если ВЧХ имеет подъем от P(0), то ;

г) если ВЧХ имеет отрицательный минимум со значением более 0,1P(0), то с его учетом ;

д) если ВЧХ терпит разрыв при ω=ω₀, система совершает незатухающие колебания, t_рег→ ∞ и показатели качества не определяются.

При оценке качества регулирования по АЧХ обычно вычисляют значение частотного показателя колебательности, равное отношению максимума характеристики к ее начальному значению М = А_м/А(0). При М = 1 переходная характеристика системы не колебательна, при М → ∞ система находится на границе устойчивости, наблюдаются незатухающие колебания с частотой ω₀. Оптимальными считаются значения М = 1,1..1,5, которым соответствует перерегулирование 10-30 % и запас по фазе 30-50°.

Пример 1. Оценить значение частотного показателя колебательности системы по её АЧХ (рисунок 15.8).

 

 

Рисунок 15.8

 

Максимальное значение АЧХ равно 1,51, следовательно, показатель колебательностиМ = 1,51/1,0 = 1,51, что ещё удовлетворяет минимальному запасу по фазе 30° и перерегулированию 30 %.

Пример 2. Найти значение перерегулирования и времени регулирования системы по заданной АФЧХ (рисунок 15.9)

 

 

Рисунок 15.9

 

Частота ω₊ = 1,45 рад/с, положительный максимум ВЧХ равен 1,09 при начальном значении Р(0) = 1,0, отрицательный минимум 0,521. Отсюда получаем перерегулирование

 

=

= (1,18*1,09 + 0,277*0,521 – 1,0)*100 = 43,1 %

 

и время регулирования не более 4π/ω₊ = 4*3,1415926/1,45 = 8,67 с.

 

Указания по выполнению работы

 

С помощью частотного метода определить показатели качества переходных процессов для линейной системы автоматического управления со следующей структурной схемой при K = 10; Т = 0,2с.

Решение

 

Предварительно заполните таблицу, подобрав к каждому алгоритму конкретное соответствие из данного задания.