Статистическое оценивание
Пусть из генеральной совокупности извлекается выборка объема n, причем значение признака х1 наблюдается m1 раз, х2 m2 раз,..., хk наблюдается mk раз, - объем выборки. Мы можем сопоставить каждому значению xi относительную частоту mi/n. Статистическим распределением выборки называют перечень возможных значений признака xi и соответствующих ему частот или относительных частот (частостей) mi (wi). Числовые характеристики генеральной совокупности, как правило неизвестные, (средняя, дисперсия и др.) называют параметрами генеральной совокупности(обозначают, например, или , ). Доля единиц, обладающих тем или иным признаком в генеральной совокупности, называется генеральной долей и обозначается р. По данным выборки рассчитывают числовые характеристики, которые называютстатистиками(обозначают , или , , выборочная доля обозначается w). Статистики, получаемые по различным выборкам, как правило, отличаются друг от друга. Поэтому статистика, полученная из выборки, является только оценкой неизвестного параметра генеральной совокупности. Оценка параметра - определенная числовая характеристика, полученная из выборки. Когда оценка определяется одним числом, ее называют точечной оценкой. В качестве точечных оценок параметров генеральной совокупности используются соответствующие выборочные характеристики. Теоретическое обоснование возможности использования этих выборочных оценок для суждений о характеристиках и свойствах генеральной совокупности дают закон больших чисел и центральная предельная теорема Ляпунова. Выборочная средняя является точечной оценкой генеральной средней, т.е. ≈ Генеральная дисперсия имеет 2 точечные оценки: - выборочная дисперсия; - исправленная выборочная дисперсия[3]. - исчисляется при , а - при . Причем в математической статистике доказывается, что или (7.1) При больших объемах выборки и практически совпадают. Генеральное среднее квадратическое отклонение так же имеет 2 точечные оценки: - выборочное среднее квадратическое отклонение и - исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение. используется для оценивания при , а для оценивания , при ;при этом , а . Ошибки выборки
Поскольку выборочная совокупность представляет собой лишь часть генеральной совокупности, то вполне естественно, что выборочные характеристики не будут точно совпадать с соответствующими генеральными. Ошибка репрезентативности может быть представлена как разность между генеральными и выборочными характеристиками изучаемой совокупности: , либо . Применительно к выборочному методу из теоремы Чебышева следует, что с вероятностью сколь угодно близкой к единице можно утверждать, что при достаточно большом объеме выборки и ограниченной дисперсии генеральной совокупности разность между выборочной средней и генеральной средней будет сколь угодно мала. (7.2) где - средняя по совокупности выбранных единиц, - средняя по генеральной совокупности, - среднее квадратическое отклонение в генеральной совокупности. Запись показывает, что о величине расхождения между параметром и статистикой , можно судить лишь с определенной вероятностью, от которой зависит величина t. Формула (7.2) устанавливает связь между пределом ошибки , гарантируемым с некоторой вероятностью Р, величиной tи средней ошибкой выборки . Cогласно центральной предельной теореме Ляпунова выборочные распределения статистик (при n ³ 30) будут иметь нормальное распределение независимо от того, какое распределение имеет генеральная совокупность. Следовательно:
(7.3) где Ф0(t) - функция Лапласа.
Значения вероятностей, соответствующие различным t, содержатся в специальных таблицах: при n ³ 30 - в таблице значений Ф0(t), а при n < 30 в таблице распределения t-Стьюдента. Неизвестное значение при расчете ошибки выборки заменяется В зависимости от способа отбора средняя ошибка выборки определяется по разному: Таблица 7.1
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (704)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |