Задания для самостоятельного решения. 1.2. Упростите выражение:
I уровень 1.1. Вычислите: 1) ; 2) ; 3) . 1.2. Упростите выражение: 1) ; 2) ; 3) . 1.3. Известно, что и . Найдите: 1) ; 2) . 1.4. Докажите, что при и , дробь – неправильная. 1.5. Разложите по формуле бинома Ньютона: 1) ; 2) ; 3) .
II уровень 2.1. Упростите выражение: 1) ; 2) . 2.2. Известно, что , найдите: 1) ; 2) . 2.3. Докажите, что , при любых . 2.4. Разложите по формуле бинома Ньютона и упростите полученное выражение: 1) ; 2) ; 3) . 2.5. Вычислите: 1) ; 2) ; 3) .
III уровень 3.1. Определить знак выражения при а >1: . 3.2. Сократите дробь: 1) ; 2) 3.3. Найдите значение выражения , если . 3.4. Вычислите значение выражения при . 3.5. Докажите, что при любых х; у. 3.6. Упростите выражение . 3.7. Найдите разность между коэффициентом и биноминальным коэффициентом при для выражения .
Многочлены. Действия над многочленами
Выражение вида
, (3) где называется многочленом n-ой степени от одной переменной х, записанным в стандартном виде. Числа называются коэффициентами данного многочлена, – старшим коэффициентом, – свободным членом. Если необходимо указать степень многочлена , то пишут . Если , то называется приведенным многочленом. Если кроме рассмотреть случай , то многочлен вида называется многочленом нулевой степени, он есть число. Каждое слагаемое вида многочлена (3) называется одночленом. Два многочлена, заданные в виде (3), называются равными, если равны все их коэффициенты при соответствующих степенях переменной х. Для всякого многочлена и многочлена определены следующие операции: 1) Умножение на число : ; 2) Сложениемногочленов: ; 3. Умножениемногочленов производят по следующему правилу: каждый член одного многочлена умножают на каждый член второго многочлена и приводят подобные. и привести подобные. 4. Деление многочленов (при условии, что степень делителя меньше или равна степени делимого) выполняется по правилу «деления углом» (см. далее пример ). Результат деления записывается в виде: или (4) где – частное (многочлен), – остаток (степень остатка меньше степени делителя). Многочлен делится нацело на , если или . Если , где , то результат деления многочлена на , согласно формуле (4), можно записать в виде равенства , (5) где R0 – число. Коэффициенты многочлена и остаток R0 в Равенстве (5) можно вычислить по схеме Горнера: (6)
При вычислении коэффициентов (6) используют таблицу:
Верхняя строка заполняется коэффициентами заданного многочлена (3), нижняя – числами, которые вычисляют по формулам (6). Число , называется корнем многочлена , если . Число называется корнем кратностиk многочлена , если и . Теорема 1. (Безу). Число х0 является корнем многочлена , тогда и только тогда, когда делится нацело на . Теорема 2. Число является остатком от деления многочлена на , тогда и только тогда, когда . Теорема 3. Пусть – приведенный многочлен с целыми коэффициентами. Если он имеет целые корни, то они содержатся среди целых делителей свободного члена. Представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов (если это возможно) называется разложением на множители. Общий вид разложения на множители: , где А, a1; …; b1; …; c1; … R (const); х1; х2; …; хk – корни многочлена . ; ; квадратные трехчлены не имеют действительных корней.
Основные методы разложения: 1) вынесения общего множителя за скобки; 2) метод группировки – непосредственно; – с предварительными преобразованиями слагаемых; 3) использование формул сокращенного умножения; 4) использование формул разложения квадратного трехчлена на множители 5) выделение полного квадрата и сведение к разности квадратов; 6) введение новой переменной; 7) поиск корней многочлена среди делителей свободного члена, использование теоремы Безу. Многочлен может зависеть не только от одной переменной, но и от двух ; трех и т.д. Данные многочлены называются многочленами от нескольких переменных. Тогда их одночленом называют выражение, представляющее собой произведение чисел и переменных в некоторых степенях. Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех входящих в него переменных. Старшая степень многочлена нескольких переменных определяется старшей степенью его одночлена. Многочлен от двух переменных называется симметрическим, если при замене переменных x на у и у на x выражение не меняется. Над многочленами от нескольких переменных можно выполнять действия, аналогичные действиям над многочленами от одной переменной. Для разложения данных многочленов на множители применяются те же методы, что и длямногочленов от одной переменной.
Пример 1.Представить многочлен в стандартном виде, определить его степень: 1) ; 2) . Решение.
. Данный многочлен является многочленом 2-й степени относительно х. 2. Умножим многочлен на одночлен . Приведем подобные и получаем многочлен , который является многочленом -й степени от двух переменных х, у (наибольшее суммарное значение показателей имеем в первом одночлене: ). Пример 2. Найти частное и остаток от деления многочлена на многочлен . Результат деления записать в виде равенства. Решение. Воспользуемся правилом «деления углом»: Получаем: – частное (целая часть); – остаток (многочлен первой степени). Тогда . Пример 3. Проверить, делится ли многочлен нацело на .Если нет, то найти значение остатка (не выполняя деления). Решение. У данного многочлена свободный член есть число . Поскольку число 5 не является делителем числа , то – не является корнем многочлена (см. теорему 3). Значит, согласно теореме 1, не разделится нацело на . Остаток находим по теореме ?????????? . Пример 4. Разложить многочлен на множители: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) . Решение. 1. Используем метод вынесения общего множителя за скобки: . Поскольку у квадратного трехчлена , то получен ответ. 2. Воспользуемся методом группировки: Для дальнейшего разложения выделим полный квадрат и сведем к разности квадратов: . Поскольку дискриминанты квадратных трехчленов отрицательны, окончательно получаем разложение . 3. Вначале преобразуем данное выражение, а затем используем метод группировки и формулу разности квадратов Вычисляем корни полученного квадратного трехчлена . Поэтому 4. Вынесем общий множитель за скобки и воспользуемся формулой разности кубов: . Получили искомое разложение. 5. Для многочлена запишем целые делители свободного члена: (см. теорему 3). Подставим данные значения вместо , убеждаемся, что является корнем, т.к. . Разделим заданный многочлен на : Получаем . Для многочлена выполним аналогичные действия. Проверкой делителей свободного члена находим корень 2. Делим: Тогда Квадратный трехчлен разлагаем на множители, используя формулы корней. Окончательно получаем: . 6. Для многочлена найдем целый корень среди делителей свободного члена . Это число . Для дальнейшего разложения воспользуемся схемой Горнера:
х3 х2 х1 х0
х2 х1 х0
Таким образом, . Квадратный трехчлен имеет корни и , а потому окончательно получаем: . 7. Для разложения многочлена воспользуемся методом введения новой переменной. Пусть . Тогда имеем . Корни этого многочлена – числа и . Поэтому . Возвращаясь к старой переменной, имеем . Пример 5. Найти a и b из заданного равенства и доказать, что a+b=0 . Решение. Приведем правую часть заданного равенства к общему знаменателю: или . Поскольку знаменатели дробей равны, приравняем числители и сгруппируем в правой части коэффициенты при х. Многочлен в правой части запишем в стандартном виде. . Из определения равенства многочленов получаем систему и решаем ее: Находим сумму . Доказательство завершено.
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (663)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |