Задания для самостоятельного решения. 1.1. Разложите на сумму простейших дробей первого типа:
I уровень 1.1. Разложите на сумму простейших дробей первого типа: 1) ; 2) ; 3) . 1.2. Разложите на сумму простейших дробей: 1) ; 2) ; 3) . 1.3. Вычислите: 1) ; 2) .
II уровень 2.1. Разложите на сумму простейших дробей: 1) ; 2) ; 3) . 2.2. Разложите на сумму простейших дробей: 1) ; 2) ; 3) .
III уровень 3.1. Найдите коэффициенты A, B, C, D из равенства: . 3.2. Вычислите: . 3.3. Упростите: 3.4. Докажите, что .
Алгебраические уравнения И Алгебраические неравенства
Уравнения высших степеней
Уравнение вида: , (1) где называется уравнением n-ой степени. Если , уравнение называется линейным. Если , уравнение называется квадратным. Если , уравнение называется однородным. Основными методами решения уравнений типа (1) при являются: 1) метод разложения многочлена в левой части уравнения (1) на множители и сведение к равносильной совокупности уравнений; 2) метод замены переменной, в результате применения которого уравнение (1) заменяется равносильным уравнением, степень которого ниже, чем n; 3) поиск корней среди делителей свободного члена. Рассмотрим некоторые виды уравнений (1) и их решения. Уравнения вида решаются вынесением общего множителя за скобки: и сведением к совокупности: Уравнение вида , , (2) решаем заменой . Получаем уравнение , которое решается как квадратное. Находим его корни (если такие существуют) и возвращаемся к старой переменной. При уравнение (2) имеет вид – биквадратное уравнение. Уравнение , (3) где сводится к биквадратному уравнению заменой: . Уравнение , (4) где и таковы, что и сводится к биквадратному заменой или при к уравнению: заменой ; Уравнение , (5) где и делением на (т.к. – не является корнем) сводится к равносильному ему уравнению: , далее заменой оно сводится к квадратному уравнению. Уравнение , где и А таковы, что сводится к уравнению вида (5) после попарного перемножения выражений в скобках: . Уравнения вида , (6) где , называются симметрическими уравнениями третьей степени. Так как , то уравнение (5) равносильно совокупности уравнений: Уравнения вида , (7) где , называются симметрическими уравнениями четвертой степени. Так как – не является корнем уравнения (7), то деление обеих частей уравнения (7) на приводит его к уравнению: или . Далее заменяем и сводим его к квадратному уравнению.
Пример 1. Решить уравнение . Решение. Выносим общий множитель за скобки: . Получаем совокупность уравнений Ее решение дает три корня: Пример 2. Решить уравнение . Решение. Заменяем и приходим к уравнению . Последнее уравнение имеет корни Возвращаемся к переменной х: Решаем полученные квадратные уравнения и приходим к ответу: Пример 3. . Решение. Задано уравнение вида (3). Заменяем , т.е. . Подставим это значение в заданное уравнение: . После упрощения имеем . Дополним до полного квадрата суммы После упрощения уравнение приобретает вид , т.е. . Его решением является лишь . Возвращаясь к переменной х, получим , что приводит к ответу . Пример 4. . Решение. Имеем уравнение вида (4). Так как и , перемножим попарно выражения в 1-й и 2-й скобках, а также в 3-й и 4-й. Получим . Заменяем . Поскольку , и приходим к уравнению . Решая его как квадратное, получим корни: Возвращаемся к переменной х: Первое квадратное уравнение полученной совокупности не имеет корней, т.к. , а второе имеет корни что и будет ответом. Пример 5.Решить уравнение . Решение. Имеем уравнение вида (5). Поскольку не является его корнем (в чем можно убедиться подстановкой), то делим его почленно на . Получаем . Введем замену , которая приводит к уравнению , т.е. . Находим корни и возвращаемся к переменной х: Решаем полученную совокупность дробно-рациональных уравнений: т.е. Получаем в совокупности 4 корня: Пример 6.Решить уравнение . Решение. Это уравнение 3-й степени. Разложим на множители многочлен в правой части. Для этого рассмотрим делители свободного члена: . Подстановкой находим, что – корень этого многочлена. Значит, многочлен разделится нацело на . Воспользуемся правилом деления «углом»: Данное уравнение равносильно уравнению: , решение которого сводится к совокупности Квадратное уравнение не имеет корней, а поэтому получаем единственный корень . Пример 8.Решить уравнение . Решение. Данное уравнение является симметрическим уравнением 4-й степени вида (7). Поскольку не является его корнем, то делим это уравнение почленно на . Приходим к уравнению . Заменяем , соответственно, и . Приходим к уравнению вида , т.е. . Находим корни и возвращаемся к переменной х: После упрощения получаем При этом первое уравнение последней совокупности не имеет корней, а второе имеет два корня что и является ответом.
Задания для самостоятельного решения I уровень 1.1. Решите уравнения: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) .
II уровень 2.1. Решите уравнения: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) .
III уровень 3.1. Решите уравнения: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10)
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (470)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |