Задания для самостоятельного решения. 1.1. Решите уравнение:
I уровень 1.1. Решите уравнение: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) .
II уровень 2.1. Решите уравнение: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 6) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) .
III уровень 3.1. Решите уравнение: 1) ; 2) ; 3) ; 4) 3.2. Решите уравнение: , если 3.3. Найдите все значения а, при которых уравнение имеет единственный корень. 3.4. Для каждого а найдите множество решений: 3.5. Определите, при каком значении уравнение имеет ровно три решения: 1) ; 2) .
Системы и совокупности уравнений
Пусть даны два уравнения с двумя неизвестными и где – некоторые выражения с переменными х и у. Если ставится задача найти все общие решения данных уравнений, то говорят, что задана система уравнений: (15) Решить систему (15) – значит найти все пары чисел , которые являются решением каждого уравнения, или доказать, что таких пар чисел не существует. Аналогично определяется понятие системы с тремя и более неизвестными. Системы, все уравнения которых однородные, называются однородными системами уравнений. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение и несовместной, если таких решений не существует. Две системы уравнений эквивалентны (равносильны), если они имеют одни и те же решения или обе не имеют решений. Над уравнениями системы можно выполнять следующие действия, преобразующие данную систему в эквивалентную ей: 1) менять порядок следования уравнений; 2) умножать на число , любое уравнение; 3) умножать на , одно уравнение системы и прибавлять его к другому уравнению. Несколько уравнений образуют совокупность уравнений , если ставится задача найти все те решения, которые удовлетворяют хотя бы одному уравнению совокупности и входит в область определения остальных уравнений. Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеет вид: (16) . Геометрически, каждому уравнению системы (16) соответствует прямая линия на плоскости: и Справедливы утверждения: 1) если , то система (16) имеет единственное решение (геометрически – прямые пересекаются в определенной точке); 2) если , то система (16) не имеет решений (прямые параллельны); 3) если , то система (16) имеет бесконечно много решений (прямые и – совпадают). Основными методами решения систем уравнений (15) являются: 1) метод подстановки; 2) метод исключения неизвестной; 3) метод сложения; 4) метод умножения (деления) уравнений; 5) метод замены переменных; 6) графический метод. Пример 1.Решить систему Решение. Решим методом сложения. Для этого первое уравнение системы умножим на и прибавим ко второму: ,откуда следует Получаем , т.е. . Значит, Заданная система сводится к решению совокупности систем: Ее решением являются пары чисел ; . Пример 2.Решить систему Решение. ОДЗ: Заменим в первом уравнении системы , тогда Получим дробно-рациональное уравнение: . Решаем его ; ; Возвращаемся к переменным х, у: подходит по ОДЗ. Получили ответ: . Пример 3.Решить систему Решение. Данная система относится к симметрическим системам (неизвестные входят одинаково). Решение таких систем производят стандартной заменой переменных . (17) Далее используем метод сложения: , т.е. . Получаем корни этого квадратного уравнения: С учетом системы (17) приходим: Возвращаясь к переменным х, у, получаем Решим записанные системы отдельно: 1) (18) , Возвращаясь к системе (18), получаем т.е. имеем два решения и . 2) (19) , . Поскольку для последнего квадратного уравнения , система (19) не имеет решения. Получили ответ: . Пример 4.Решить графически: 1) (20) 2) Решение. 1. Исходя из геометрического смысла, – уравнение окружности с центром и радиусом ; – прямая, параллельная оси и проходящая через точку Построим эти линии (рис. 1).
Графики имеют 2 точки пересечения, т.е. система имеет 2 решения, которые найдем из системы (20): Рис.1 Получили ответ: , .
2. Уравнение может быть записано в виде и является уравнением гиперболы . Уравнение может быть записано в виде –биссектриса II и IV координатных углов (рис.2). Выполним построение:
Рис. 2 Графики не имеют точек пересечения и, следовательно, система решений не имеет. Пример 5.Решить систему Решение. Система содержит однородное уравнение. Так как получим: Из второго уравнения найдем х: . Получаем совокупность двух систем: Приходим к ответу: и
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (635)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |