Скорости и ускорения точек свободного твердого тела в общем случае
Так как движение свободного твердого тела в общем случае можно представить как сложное движение, то и скорость, и ускорение какой-либо точки этого тела можно вычислить соответственно по теоремам сложения скоростей и ускорений (рис. 61). Так, для скорости точки . Переносным движением является поступательное движение тела вместе с точкой этого тела. Следовательно, скорости поступательного переносного движения одинаковы у всех точек тела и равны скорости точки . Относительное движение есть вращение вокруг точки , и, следовательно, скорость относительного движения можно вычислить по векторной формуле Эйлера: , где – радиус-вектор точки , проведенный из точки ; – угловая скорость вращения тела вокруг точки или подвижной мгновенной оси, проходящей через точку . Окончательно для скорости точки получим следующую формулу: . (116) Формулу (116) можно получить непосредственным дифференцированием векторного равенства , справедливого для любого момента времени. Возьмем полные производные по времени от обеих частей равенства, учитывая изменения векторов относительно неподвижной системы координат . Имеем . Здесь , – скорости точек тела и соответственно. Модуль вектора как отрезка, соединяющего две точки тела, не изменяется при движении этого тела. Следовательно, по формуле производной по времени от вектора постоянного модуля получаем . Объединяя результаты, получаем формулу (116): . Так же как и при плоском движении твердого тела, часть скорости можно истолковать как скорость от вращения тела вокруг точки . Ускорение точки (рис. 62) в частном случае, когда переносное движение является поступательным, определяем по формуле . Ускорения переносного движения всех точек тела равны ускорению точки , так как за поступательное переносное движение принимается движение вместе с точкой . Ускорение относительного движения, как и при вращении тела вокруг неподвижной точки, состоит из вращательной и осестремительной составляющих, т.е. , (117) где – угловое ускорение тела. Окончательная формула для ускорения точки свободного тела в общем случае его движения имеет вид , (118) на основании формулы Ривальса , (119) где , . Формулу (118) можно получить непосредственным дифференцированием векторного равенства для скоростей (116), справедливого в любой момент времени. Вычисляя полные производные по времени, при определении которых учитываются изменения векторов относительно неподвижной системы координат, получаем . Здесь , – ускорения точек и ; – угловое ускорение. Учитывая, что вектор является вектором постоянного модуля, имеем . Окончательный результат выразится в форме . Заметим, что если в кинематике свободного твердого тела в качестве точки можно брать любую точку тела, то в динамике в качестве такой точки оказывается выгодным выбирать центр масс тела. При выборе различных точек тела в качестве полюса изменяются скорость и ускорение полюса. Угловая скорость и угловое ускорение при этом не изменяются. Докажем это для угловой скорости, используя (116). Пусть и – две точки свободного твердого тела (рис. 63). Приняв за полюс точку , для скорости точки имеем , (120) где – угловая скорость вращения тела вокруг точки . Аналогично, приняв за полюс точку , для скорости точки получим , (121) где – угловая скорость вращения тела вокруг точки . Из (120) и (121) имеем , для любых двух точек свободного твердого тела. Эти точки можно выбрать так, чтобы не было параллельно вектору . Тогда получаем , , (122) т.е. угловая скорость свободного твердого тела не зависит от выбора полюса. Она инвариантна по отношению к выбору полюса. Так как равенство (122) справедливо для любого момента времени, то, дифференцируя его по времени, получим , , т.е. вектор углового ускорения свободного твердого тела тоже не зависит от выбора полюса. 5. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1112)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |