Способы задания множеств

1. Перечислением своих элементов.

A={a,b,c,...}.

2. Через описание ограничительного свойства.

A={x| P(x)} - A множество таких элементов x, которые обладают свойством P(x).

В дальнейшем мы будем пользоваться общепринятыми обозначениями множеств:

N - множество натуральных чисел,

Z - множество целых чисел,

Q - множество рациональных чисел,

C - множество комплексных чисел,

R - множество действительных чисел,

- пустое множество.

Подмножества. Универсальное множество. Множество всех подмножеств данного множества.

Понятие подмножества возникает тогда, когда необходимо рассматривать некоторое множество не самостоятельно, а как часть другого, более широкого множества.

Множество B называется подмножествоммножества A, если всякий элемент множества B является элементом множества A. Запись BA ( не исключает, что B=A).

Определённое ранее пустое множество по определению является подмножеством любого множества.

По определению пустое множество является конечным.

По определению множество является подмножеством самого себя, AA.

Таким образом, у каждого множества (кроме пустого) есть по крайней мере два подмножества - само множество и пустое.

Истинным, строгим или собственным подмножеством множества А называется такое его подмножество В, что ВА и В А. Запись В А, где - знак строгого включения.

По отношению к множеству А - пустое множество и само множество А называется несобственным, нестрогим или не истинным подмножествами множества А.

Таким образом, мы имеем следующие свойства множеств:

1. А В АВ и А В.

2. АВ А В или А=В.

3. А ВАВ.

4. А В А В.

5. АВ и ВС АС.

6. А В и В СА С.

7. АВ и В СА С.

Первые четыре свойства следуют из введенных ранее определений.

Покажем выполнение остальных свойств.

Свойство 5.

Докажем его методом от противного.

Пусть АВ и ВС но А С и А С.

Тогда существует такой элемент а А, но а С. Тогда, т.к. ВС, то а В.

Получили противоречие: а А, а В, но АВ.

Свойство 6.

Так как А В и В С, то по свойству 3 АВ и ВС и по свойству 5 АС. Осталось показать, что А С. Пусть это не так и А=С . Т.е. для любого элемента а, а А а С. Так как В С, то В С и найдется элемент в,в В. , но в С. Так как А В, то в А. Отсюда элемент в присутствует в множестве С, но отсутствует в множестве А, отсюда эти множества не равны.

Свойство 7.

Так как В С, то по свойству 3 ВС и тогда по свойству 5 АС. Осталось показать, что А С. Действительно, так как В С, то найдется элемент а, а С, но а В. Так как АВ, то а А. Отсюда а С, но а А, т.е. А С.

Если все рассматриваемые в ходе рассуждений множества являются подмножествами некоторого фиксированного множество J, то это множество называют универсальным( для рассматриваемого набора множеств)множеством или универсом.Таким образом, универс - это такое множество,что любоерассматриваемое множество является его подмножеством.

Рассмотрим множество А={a,b,c}. Найдем все его различные подмножества. Это: пустое множество , три одноэлементных подмножества {a}, {b}, {c}, три двухэлементных подмножества {a,b}, {a,c}, {b,c} и одно трёхэлементное множества - само множество А. Множество всех подмножеств множества А будем обозначать как P(A) или.