Выбор формы уравнения регрессии
Различают следующие виды уравнений множественной регрессии: линей-ные, нелинейные, сводящиеся к линейным, и нелинейные, не сводящиеся к ли-нейным (внутренне нелинейные). В первых двух случаях для оценки парамет-ров модели применяются классического линейного регрессионного анализа. В случае внутренне нелинейных уравнений для оценки параметров приходится применять методы нелинейной оптимизации.
Основное требование, предъявляемое к уравнениям регрессии, заключает-ся в наличии наглядной экономической интерпретации модели и ее параметров.
Исходя из этих соображений, наиболее часто используются линейная и
Параметры bi при факторах хi называются коэффициентами «чистой» регрессии. Они показывают, на сколько единиц в среднем изменится результативный при-знак y за счет изменения соответствующего фактора на единицу при неизме-ненном значении других факторов, закрепленных на среднем уровне.
Предположим, например, что зависимость спроса на товар (Qd) от цены (P) и дохода (I) характеризуется следующим уравнением: Qd= 2,5 0,12P + 0,23 I. Коэффициенты данного уравнения говорят о том, что при увеличении цены на единицу, спрос уменьшится в среднем на 0,12 единиц измерения спроса, а при увеличении дохода на единицу, спрос возрастет в среднем 0,23 единицы.
Параметр а в (3.14) не всегда может быть содержательно проинтерпретирован. Степенная множественная регрессия имеет вид
Параметры bj(степени факторов хi) являются коэффициентами эластично-сти. Они показывают, на сколько процентов в среднем изменится результатив-ный признак y за счет изменения соответствующего фактора хi на 1 % при не-измененном значении остальных факторов.
Наиболее широкое применение этот вид уравнения регрессии получил в производственных функциях, а также при исследовании спроса и потребления.
Например, зависимость выпуска продукции Y от затрат капитала K и труда L
Y 0,89 K 0.23 L0.81 говорит о том, что увеличение затрат капитала K на 1 % при неизменных затра-тах труда вызывает увеличение выпуска продукции Y на 0,23 %. Увеличение за-трат труда L на 1 % при неизменных затратах капитала K вызывает увеличение выпуска продукции Y на 0,81 %.
Экономический смысл имеет также сумма коэффициентов bi каждого фак-тора (сумма эластичностей)b = bi. Эта величина дает обобщенную харак-теристику эластичности производства.
Если значение b> 1, то говорят, что функция имеет возрастающий эффект от масштаба производства. Значение b= 1 говорит о постоянном масштабе производства. Если значение b< 1, то имеет место убывающий эффект от мас-штаба производства.
Примеры других зависимостей, используемых при построении регрессии, приведены в п. 1.4.
Если один и тот же фактор вводится в регрессию в разных степенях , то ка-ждая степень рассматривается как самостоятельный фактор. Например, если в нелинейной модели с двумя факторами x1,x2
y a b1 x1 b2 x2 b3 x12 b4 x1 x22,
величины x12,x1x22 рассматривать как новые дополнительные факторы, то,
Для оценки параметров уравнения множественной регрессии обычно при-меняется метод наименьших квадратов (МНК), согласно которому следует вы-бирать такие значения параметров а и bi, при которых сумма квадратов откло-нений фактических значений результативного признака yi от теоретических значений ŷ= f (x1i,x2i,...,xpi)(при тех же значениях фактора xij) минимальна, т. е.
S yˆi yi2min . С учетом (3.6) величина S является функцией неизвестных параметров а и bi n S ( yia b1x1b2x2 ... bpxp )2S(a,b1,...,bp ) . (3.7) i 1 Оптимальные значения параметров а и bi удовлетворяют условиям
Выполняя соответствующие вычисления, получим для определения пара-метров а и bi следующую систему уравнений
откуда после некоторых преобразований получается система нормальных урав-нений метода наименьших квадратов
где B матрица-столбец (p+1×1) из коэффициентов а и bi; Y матриц-столбец (n×1) исходных значений зависимой переменнойy;
X матрица(p+1×n)исходных значений независимых переменных xi,в ко-торой первый столбец из единиц можно рассматривать как значения «фиктив-
квадратной размерности (p+1×p+1) при условии, что столбцы матрицы X ли-нейно независимы.
Независимые переменные xi имеют различный экономический смысл, раз-ные единицы измерения и масштаб. Если нужно определить степень относи-тельного влияния отдельных факторов xi на изменение результативной пере-менной y, то переменные xi следует привести к сопоставимому виду. Это мож-но осуществить, вводя, так называемые, «стандартизованные» переменные t y,tx1,...,txpс помощью соотношений
где ременных y и xi. Стандартизованные переменные обладают следующими свойствами: 1) средние значения равны нулю tytxi0; 2) средние квадратические отклоне- ния равны единице tytxi1.
Уравнения множественной регрессии в стандартизованных переменных принимает вид
Величины βi называются стандартизованными коэффициентами. Их связь коэффициентами множественной регрессии bi задается соотношениями
Стандартизованные коэффициенты регрессии βi показывают, на сколько сигм (средних квадратических отклонений) изменится в среднем результатив-ный признак y за счет изменения соответствующего фактора на одну сигму при неизмененном значении других факторов, закрепленных на среднем уровне.
Система нормальных уравнений МНК (3.10) в стандартизованных пере-менных принимает вид:
Стандартизованные коэффициенты регрессии βi сравнимы между собой, что позволяет ранжировать факторы по силе их воздействия на результат. Большее относительное влияние на изменение результативной переменной y оказывает тот фактор, которому соответствует большее по модулю значение коэффициента βi.
Отметим, что в случае парной линейной регрессии стандартизованный ко-эффициент регрессии β совпадает с линейным коэффициентом корреляции ryx.
Для оценки параметров нелинейных уравнений множественной регрессии предварительно осуществляется преобразование последних в линейную форму (с помощью замены переменных) и МНК применяется для нахождения пара-метров линейного уравнения множественной регрессии в преобразованных пе-ременных.
В случае внутренне нелинейных зависимостей (которые невозможно при-вести к линейному виду) для оценки параметров по методу наименьших квад-ратов приходится применять методы нелинейной оптимизации (п. 2.4).
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1122)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |