Точность коэффициентов регрессии. Проверка значимости

Полученные согласно формулам (2.13) оценки коэффициентов регрессии зависят от используемой выборки значений переменных x и y и являются слу-чайными величинами. Представление о точности полученных оценок, о том на-сколько далеко они могут отклониться от истинных значений коэффициентов можно получить используя, так называемые «стандартные ошибки» коэффици-ентов регрессии.

Под стандартной ошибкой коэффициента регрессии понимается оценка стандартного отклонения функции плотности вероятности коэффициента.

Стандартные ошибки коэффициентов регрессии (s_a,s_b) определяются со-отношениями

где s²_ост представляет собой несмещенную оценку остаточной дисперсии

в случае нормально распределенной ошибки ε_i являются t-статистиками, т. е. случайными величинами, распределенными по закону Стьюдента с числом сте-

пеней свободы 2. Через ^~ и ^~ обозначены точные значения коэффициентов n a b

регрессии.

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии приме-няется t-критерий Стьюдента, согласно которому выдвигается «нулевая» гипо-теза H₀ о статистической незначимости коэффициента уравнения регрессии (т. е. о статистически незначимом отличии величиныаилиbот нуля). Эта ги-потеза отвергается при выполнении условия t>t_крит, где t_крит определяется по таблицам t-критерия Стьюдента ( П2) по числу степеней свободы k₁=n k1 (k число независимых переменных в уравнении регрессии) и заданному уровню значимости α.

t-критерий Стьюдента может использоваться и для оценки статистическойзначимости выборочного коэффициента корреляции r_xy, так как величина

s_rxyобозначена стандартная ошибка коэффициента корреляцииr_xy.

Проверка значимости оценок параметров ничего не говорит о том, на-сколько эти оценки могут отличаться от точных значений. Ответ на этот во-прос дает построение доверительных интервалов.

Под доверительным интервалом понимаются пределы, в которых лежит точное значение определяемого показателя с заданной вероятностью (P= 1 α).

Доверительные интервалы для параметров a и b уравнения линейной рег-рессии определяются соотношениями:

Величина t_1α,n-2 представляет собой табличное значение t-критерия Стью-дента на уровне значимости α при числе степеней свободы n–2.

Если в границы доверительного интервала попадает ноль, т. е. нижняя гра-ница отрицательна, а верхняя положительна, то оцениваемый параметр прини-мается равным нулю, так как он не может одновременно принимать и положи-тельное, и отрицательное значения.

Для статистически значимого коэффициента корреляции r_xy интервальные

оценки (доверительный интервал) получают с использованием Z-преобразования Фишера:

где t_1α/2– квантиль стандартного нормального распределения порядка 1–α/2,z' = Z (r_xy) –значение Z-преобразования Фишера,соответствующее полученно-му значению коэффициента корреляции r_xy.

Граничные значения доверительного интервала (r^–,r⁺) для r_xy получаются из граничных значений доверительного интервала (z^–,z⁺) для z с помощью об-

ратного Z-преобразования Фишера r_xyZ¹(z)