Теоретические сведения. Конечные разности

Конечные разности. Пусть известны значения некоторой функции для равноотстоящих значений аргумента . Конечными разностями первого порядка называются следующие величины:

; ; …; ; … .

Aналогично определяются конечные разности второго порядка:

; ; …; ; …

и т.д.

Конечные разности -го порядка выражаем через конечные разности -го порядка: ; ; …; ; … .

Вычисление конечных разностей можно оформить в виде
табл. 7.1, которая называется диагональной таблицей конечных разностей.

Таблица 7.1

Первая интерполяционная формула Ньютона. Интерполяционный полином Ньютона – форма записи интерполяционного полинома P_n(x), которая допускает уточнения результатов интерполирования последовательным прибавлением новых узлов.

Первая интерполяционная формула Ньютона имеет вид

,

где .

Формула используется для интерполирования в точках , близких к началу таблицы , поэтому её называют также и интерполяционной формулой Ньютона для интерполирования в начале таблицы. Отметим, что конечные разности, входящие в первую интерполяционную формулу Ньютона, расположены в верхней косой строке таблицы конечных разностей.

Погрешность первой интерполяционной формулы Ньютона записывается в виде

,

где – некоторая точка интервала, содержащего узлы интерполяции.

Вторая интерполяционная формула Ньютона. Пусть точка интерполирования лежит вблизи конечной точки таблицы . В этом случае для интерполирования применяется вторая интерполяционная формула Ньютона

,

где .

Вторая интерполяционная формула Ньютона содержит конечные разности, расположенные в нижней косой строке таблицы конечных разностей.

Погрешность второй формулы

,

где – некоторая точка интервала, содержащего узлы интерполяции .

Интерполяционная формула Гаусса. Пусть точка интерполирования лежит в середине таблицы между узлами интерполяции и , т.е. . В этом случае для интерполирования применяется интерполяционная формула Гаусса

,

где ; – целая часть числа .

Погрешность интерполяционной формулы Гаусса имеет вид

,

где – некоторая точка интервала, содержащего узлы интерполирования.

Численное дифференцирование. Пусть функция задана таблицей своих значений . Требуется вычислить производную в некоторой точке .

Пусть для определенности точка находится в начале таблицы. Построим интерполяционный многочлен по первой формуле Ньютона

,

где .

Производную приближённо можно вычислить следующим образом:

,

т.е.

Если требуется найти производную в точке , лежащей в середине или в конце таблицы, то формулу для её вычисления получаем, исходя из формулы Гаусса или второй интерполяционной формулы Ньютона.

Обратное интерполирование. Задача обратного интерполирования заключается в определении по заданному значению функции , соответствующего значения . Если – монотонная непрерывная функция на интервале , причем , то функция в этом случае имеет обратную функцию.

Пусть задана функция :

Для многочлена Лагранжа нужно просто перевернуть таблицу:

.

Рассмотрим случай равноотстоящих узлов. Для определенности полагаем, что содержится между и (для 1-й формулы Ньютона). Этот метод называется методом последовательных приближений:

.

Используем метод итерации. Для этого необходимо уравнение привести к виду :

.

После приведения уравнения к виду, пригодному для метода итерации, в качестве начального приближения выбираем

.

Доказано, что при . В случае получения расходящегося процесса необходимо уменьшить h. Продолжая процесс итерации, получаем

.

Процесс итерации на практике продолжается до тех пор, пока не установятся цифры, соответствующие требуемой точности:

.

Для нахождения корня уравнения методом обратной интерполяции нужно рассмотреть функцию и составить таблицу ее значений, близких к нулю. При этом количество узлов выбирается в зависимости от требуемой точности корня. Выбираем интервал, на котором функция меняет знак, и решаем задачу обратного интерполирования, т.е. отыскиваем значение x, для котoрого y = 0.