Дифференциальное уравнение теплопроводности
Для изучения закономерностей распространения теплоты в однородном и изотропном теле используют метод математической физики. Этот метод исходит из того, что ограничивается бесконечно малый промежуток времени и из всего пространства рассматривается лишь элементарный объем. Это позволяет пренебречь изменением теплофизических величин, характеризующих процесс. Выбранные таким образом элементарный объем dv и элементарный промежуток времени dτ с математической точки зрения являются величинами бесконечно малыми, а с физической точки зрения – величинами еще достаточно большими, чтобы в их пределах можно было рассматривать среду как сплошную. При решении задач, связанных с нахождением температурного поля, необходимо иметь дифференциальное уравнение теплопроводности. В основу вывода уравнения положен закон сохранения энергии: количество теплоты dQ, введенное в элементарный объем извне за время dτ вследствие теплопроводности, а также от внутренних источников теплоты, равно изменению внутренней энергии
, (1.1)
где dQ1 – количество теплоты, Дж, введенное в элементарный объем путем теплопроводности за время dτ; dQ2 – количество теплоты, Дж, которое за время dτ выделилось в элементарном объеме за счет внутренних источников; dQ – изменение внутренней энергии, Дж. Для нахождения составляющих уравнения выделим в теле элементарный параллелепипед со сторонами dx, dy, dz. По закону Фурье количество теплоты, проходящее за время d через грань dy-dz, вдоль оси x будет равно
.
Тепловой поток, проходящий через противоположную грань dy-dz, будет соответственно
.
Разница между количеством теплоты, подведенного к элементарному параллелепипеду, и количеством теплоты, отведенного от него за время dτ
.
Функция qx+dx является непрерывной в рассматриваемом интервале dx и может быть разложена в ряд Тейлора
.
Если ограничиться двумя первыми членами ряда, то
.
Аналогичным образом можно найти количество теплоты, подводимое к элементарному объему в направлениях других координат у и z. Тогда общее количество теплоты, подведенное к объему .
Определим вторую составляющую уравнения dQ2. Обозначим количество теплоты, выделяемое внутренними источниками в единице объема среды в единицу времени и называемое мощностью внутренних источников теплоты, через qv, Вт/м3
.
Третья составляющая в уравнении для изохорного процесса, когда вся теплота уйдет на изменение внутренней энергии вещества dQ=dU, определится
.
Подставляя полученные выражения в уравнение (1.1) получаем
.
Проекции вектора плотности теплового потока на координатные оси x,y,z , , . Дифференциальное уравнение теплопроводности в общем виде
+ .
Обозначим: , .
С учетом введенных обозначений дифференциальное уравнение теплопроводности для нестационарного процесса с учетом внутренних источников теплоты .
Коэффициент пропорциональностиа, м2/с, называется коэффициентом температуропроводности и является физическим параметром вещества. Если коэффициент теплопроводности характеризует способность тел проводить теплоту, то коэффициент температуропроводности является мерой теплоинерционных свойств тела. Выравнивание температуры тела будет проходить быстрее в том теле, где больше коэффициент а. Если система не содержит внутренних источников теплоты (qv=0), то дифференциальное уравнение теплопроводности имеет вид
.
Для стационарной теплопроводности и при отсутствии внутренних источников теплоты выражение принимает вид
.
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (517)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |