Понятие о коэффициентах роста и градиентах взлетной массы самолета

В процессе проектирования самолета постоянно приходится сталкиваться с решением задач на противоречия массы и аэродинамического сопротивления, массы и ресурса, массы и стоимости конструкции и т.д. Изложению методики решения подобных задач и посвящен разд. 3.2.

На всех стадиях проектирования самолета обычно вносятся различные изменения и улучшения, сравниваются варианты конструкторских решений. Вопрос состоит в том, как достаточно корректно произвести эти операции, как связать частные изменения различных величин с общим изменением критерия оценки самолета?

Решение может дать приближенный метод, основанный на линеаризации малых (конечных) приращений. Наиболее просто задача решается в тех случаях, когда за критерий оценки принимается величина взлетной массы самолета.

Метод основан на следующих допущениях:

– частные (локальные) изменения, если они вносятся одновременно, непосредственно не связаны между собой, являются независимыми и определяются конструктором;

– внося какие-либо изменения в проект, конструктор стремится сохранить заданную целевую нагрузку и основные летные данные согласно ТЗ или ТТТ;

– изменения малы, не превышают 10 ... 15 % исходного значения (чем больше величина изменения, тем больше погрешность метода – см. ниже).

На основании первого из этих допущений полный дифференциал критерия оценки (а) имеет вид:

где i – параметр.

Считая, что дифференциалы и конечные приращения эквивалентны, уравнение (3.25) можно записать так:

Возьмем в качестве критерия взлетную массу самолета (m₀), а в качестве изменяемых независимых параметров – дополнительную массу какой-либо части самолета (Dm_доп), приращение силы лобового сопротивления (ΔΧ₀), приращение еще некоторого параметра (Δi_n), влияющего на m₀. Тогда уравнение (3.26) примет вид:

Здесь слагаемые правой части и есть градиенты взлетной массы самолета:

– в связи с появлением дополнительной массы;

– в связи с появлением дополнительного лобового сопротивления, и т.д.

В данном случае grad m₀ являются однонаправленными векторами. Производные принято называть коэффициентами роста взлетной массы.

Простота и удобство метода градиентов взлетной массы состоит в том, что на всех стадиях проектирования самолета коэффициенты роста являются константами и могут быть заранее вычислены, а конечные приращения (Dm_0доп, ΔΧ₀ и т.д.) целиком определяются конструктором.

Рис. 3.2. Зависимость взлетной массы самолета от дополнительной массы:

1 – точное решение по уравнению весового баланса самолета;

2 – решение методом градиентов взлетной массы самолета.

Метод градиентов позволяет решать весьма большой круг задач:

1) определять влияние на критерий оценки самолета каждого из переменных параметров, выявить, какой из них оказывает наибольшее влияние, чтобы направить усилия в первую очередь на улучшение этой величины. Для решения данной задачи необходимо найти соответствующие частные производные и принять, что конечные приращения переменных должны составлять одинаковую, сравнительно небольшую часть первоначального значения каждой из них (например, 1 %);

2) определять суммарное, зачастую противоречивое, влияние на критерий оценки какого-либо числа величин. Практический интерес эта задача имеет при анализе различных вариантов технических решений, связанных, например, с изменением массы, силы лобового сопротивления, ресурса и стоимости.

Очевидно, что наилучшим будет тот вариант решения, для которого имеет место экстремум критерия, например, экстремум приведенных затрат, т.е. [Σ(–Dа)]_mах или [Σ(+Da)]_min;

3) находить эквиваленты различных пар величин, например весовые эквиваленты стоимости или ресурса агрегата и т.д. Эта задача имеет весьма большое практическое значение при исследовании целесообразности проектно-конструкторских решений, связанных, например, с применением более легкой, но более дорогой конструкции, с уменьшением аэродинамического сопротивления за счет увеличения массы и т.п. Для решения таких задач необходимо приравнять нулю пару каких-либо частных приращений критерия (данная задача рассмотрена ниже). Заметим, что в общем случае пользуются формулой

(3.28)

Решение этой задачи рассмотрено в разд. 3.2.4;

4) пересчитывать значение взлетной массы на новое значение, пользуясь простой формулой

Степень погрешности при определении значения (т0)нов зависит от абсолютной величины приращения параметра Δi (рис. 3.2).

Если величина Δi не превышает 10 % от первоначального значения параметра, что часто имеет место при рассмотрении различных модификаций характеристик и параметров самолета, то с помощью линеаризации уравнения т0 (Δi) по формуле (3.29) значение (m₀)_нов можно определить с точностью до 1 %. Такая точность при приближенных расчетах обычно вполне удовлетворяет конструктора.

Таким образом, метод градиентов взлетной массы позволяет при меньших затратах труда по сравнению с обычным расчетом новых вариантов самолета найти в процессе проектирования связи между частными и общими изменениями характеристик, сравнить между собой частные изменения характеристик при одинаковом конечном результате, дать оценку целесообразности проектно-конструкторских решений.

Указанные задачи могут решаться на любом этапе проектирования опытного образца или при модификациях уже построенного и эксплуатируемого самолета. При этом ограничения (условия решения) задач на каждой стадии могут быть различными. Например, на стадии предварительных изысканий и эскизного проектирования опытного самолета основными ограничениями являются как заданные параметры (L_paсч, m_ц.н) = const, так и обычно принимаемые (р₀, `Р₀) = const. На более поздней стадии проектирования или при модификации существующего образца самолета, когда определены характеристики двигателей, размеры и форма самолета, ограничением может служить (S, Р₀) = const. Кроме того, на каждой стадии проектирования известно, какие летные данные должны быть сохранены при изменении других характеристик самолета. Например, при появлении дополнительной массы агрегата или детали, когда требуется сохранить не только прочность конструкции и расчетную дальность полета, но также и крейсерскую скорость, увеличение взлетной массы будет различным при (p₀, P₀) = const и при (S, Р₀) = const.

Остановимся на определении некоторых наиболее важных производных взлетной массы в простейших случаях, когда изменяется только какая-либо одна частная характеристика агрегата (например, масса), а остальные частные характеристики (аэродинамические, объем и т.п.) остаются неизменными.