Производная взлетной массы (коэффициент роста) по дополнительной массе частей самолета

В процессе проектирования самолета нередко встречается следующая задача: решено изменить массу какого-либо агрегата, группы оборудования или нагрузки, сохранив аэродинамические и другие характеристики самолета. Насколько при этом надо изменить взлетную массу, чтобы основные летные характеристики и прочность самолета остались прежними?

Такие задачи характерны для стадии эскизного проектирования, когда на основе вариаций различных параметров выбираются основные размеры и рассчитывается масса самолета. Однако и на последующих стадиях разработки проекта (даже при модификациях построенного самолета) эти задачи не исключаются, так как детальная проработка конструкции самолета обычно сопровождается некоторыми отклонениями массы агрегатов от их значений, установленных при эскизном проектировании.

Итак, допустим, что на какой-либо стадии проектирования самолета появилась необходимость ввести дополнительную массу m_доп. Если при изменении массы какого-либо агрегата на (m_доп)₁ нужна еще дополнительная масса (m_доп)₂ для исправления возможного изменения центровки самолета, увеличения жесткости конструкции и т.п., то будем считать, что дополнительная масса m_доп является суммой всех этих составляющих, т.е. m_доп = (m_доп)₁ + (m_доп)₂ + ...

Пусть известны зависимости массы всех составляющих от взлетной массы самолета, а также величины, которые конструктор считает нужным оставить неизменными, например (р₀, `Р<sub>0</sub>) = const или (S, P<sub>0</sub>) = const, или `m_т = const и пр.

Требуется определить увеличение взлетной массы, необходимое для выполнения поставленных ограничений (от которых зависит сохранение летных характеристик), а также для сохранения прочности конструкции.

Запишем уравнение весового баланса самолета при появлении дополнительной массы:

m₀ = m_пуст + m_т + m_ц.н + m_cл + m_доп, (3.30)

где m_пуст – масса пустого самолета, m_пуст = f₁(m₀); m_т – масса топлива, m_т = f₂(m₀); m_ц.н, m_cл – целевая и служебная нагрузки, (m_ц.н, m_cл) = const. Из (3.30) следует, что

m_доп = m₀ – m_пуст – m_т – m_ц.н – m_cл

Возьмем частную производную по m₀:

Так как требуется определить производную дm₀/дm_доп, то на основании предыдущего имеем

Найденная производная и есть коэффициент роста взлетной массы в связи с появлением дополнительной массы. Обозначим для краткости

Численные значения c_m могут изменяться от единицы до бесконечности. Последнее возможно, когда д/дm₀(m_пуст + m_т) = 1.

Если же д/дm₀(m_пуст + m_т) = 0, то c_m = 1. При этом (m_пуст, m_т) = const и (m₀)_нов = (m₀)_исх ± m_доп, что соответствует случаю, когда изменяются все летные характеристики самолета и прочность его агрегатов (этот случай возможен при модификации построенных самолетов). Важно отметить, что величина c_m может быть больше единицы лишь в том случае, когда с введением дополнительной массы конструктор стремится сохранить неизменными какие-либо свойства самолета – летные данные, прочность и т.п.

Рассмотрим физическую сущность возникновения производной c_m, когда c_m > 1.

Допустим, что на проектируемом самолете потребовалось установить дополнительное оборудование массой m_доп, которое не ухудшает аэродинамику и не требует увеличения объема самолета. Необходимо, сохранив основные летные характеристики, полезную нагрузку, а также прочность агрегатов, модифицировать самолет. Для сохранения летных характеристик, очевидно, нужно сохранить нагрузку на 1 м² крыла р₀ и тяговооруженность `Р₀ при взлете.

С увеличением массы самолета на m_доп возрастает и нагрузка на крыло, фюзеляж, шасси и оперение. Следовательно, для сохранения прочности этих агрегатов требуется увеличить размеры и массу их силовых элементов. Однако для выполнения условия p₀ = m₀/S = const необходимо с изменением m₀ соответственно изменить размеры крыла, а при `Р₀ = const – тягу двигателей, что само по себе повлечет за собой изменение массы крыла и силовой установки. Далее, с увеличением размеров крыла приходится увеличить также размеры и массу оперения для сохранения неизменными характеристик устойчивости самолета. Наконец, для сохранения дальности полета потребуется, очевидно, увеличить и первоначальный запас топлива, учитывая условие m_т = const. Приведенное увеличение массы отдельных частей самолета и исходного запаса топлива приведет к увеличению взлетной массы самолета, которое, в свою очередь, повлечет за собой повышение нагрузки на агрегаты и увеличение их массы. В результате потребуется новое, вторичное увеличение массы агрегатов и топлива.

Процесс заканчивается тогда, когда взлетная масса достигает значения, полученного из решения уравнения весового баланса.

Таким образом, приращение массы самолета m_доп повышает взлетную массу на значительно большую величину c_mm_доп.

Производная дm₀/дm_пуст, входящая в (3.31), определяется по формуле:

Здесь m_кр, m_ф, m_оп, m_ш, m_с.у, m_об.упр – масса крыла, фюзеляжа, оперения, шасси, силовой установки, оборудования и управления. Весовые формулы крыла и других агрегатов в зависимости от m₀ обычно известны (см. гл. 6).

При определении производной дm_т/дm₀, также входящей в (3.31), следует учитывать, что масса топлива линейно связана с взлетной массой, и поэтому дm_т/дm₀ = `m_т. Для приближенных расчетов можно использовать следующую зависимость, вытекающую из формулы Бреге:

Если m_т £ 0,2, то формулу (3.32) можно упростить. Раскладывая второе слагаемое в ряд и ограничиваясь двумя первыми членами разложения, получим с погрешностью ±2 %

где 1,1 – поправочный коэффициент; L – расчетная дальность полета, км; C_р, К – средние за полет значения удельного часового расхода и аэродинамического качества; V_рейс – рейсовая скорость, км/ч.

Приближенно можно считать, что дm_пуст/дm₀ » `m_пуст. Тогда формула (3.31), учитывая (3.32), примет простой расчетный вид:

Эта формула может применяться на ранних стадиях проектирования самолета.

Коэффициент роста c_m можно определить также, исходя из принципа линейного подобия:

где k_п = 2,2...2,6 – коэффициент линейного подобия. Формула (3.35), как и (3.34), может применяться на ранних стадиях проектирования.

В табл. 3.2 приведены значения коэффициента роста взлетной массы c_m для пассажирских реактивных самолетов. При (S, Р₀) = const величина c_m значительно меньше, чем при (р₀, `Р<sub>0</sub>) = const. Это объясняется тем, что дополнительная масса при (р<sub>0</sub>, `Р₀) = const влечет за собой увеличение массы всех входящих в m₀ составляющих, кроме коммерческой m_ком и служебной m_сл нагрузок, так как обычно (m_ком, m_сл) = const. При (S, P₀) = const масса силовой установки и часть массы крыла, зависящая от его площади, остаются неизменными.

Приведенная методика расчета c_m не учитывает происхождения дополнительной массы m_доп. В каком бы агрегате самолета (крыло, фюзеляж и т.д.) не образовалась дополнительная масса, изменение взлетной массы будет одинаковым и равным c_mm_доп. При более точном расчете c_m можно учесть и место образования дополнительной массы. Расчеты показывают, что чем дальше от центра масс самолета возникает дополнительная масса, тем больше значение c_m. По сравнению с приведенными формулами значение c_m может увеличиться на 15 ... 20 %, если дополнительная масса появилась на конце крыла или фюзеляжа.

Таблица 3.2 Значения коэффициента роста взлетной массы пассажирских самолетов

Производная c_m не только упрощает определение новой взлетной массы на любой стадии проектирования, но и позволяет судить о весовом совершенстве проектируемого самолета. Очевидно, что чем больше величина c_m, тем больше требуется затрат времени и средств на уменьшение массы каждого агрегата, узла и детали.