КОЛЕБАНИЯ РОТОРОВ С НЕСИММЕТРИЧНО РАСПОЛОЖЕННЫМ ДИСКОМ. ОБЕСПЕЧЕНИЕ ВИБРОНАДЕЖНОСТИ

Колебательное движение ротора с диском, расположенным несимметрично относительно опор, характеризуется как смещением центра масс диска, так и поворотом его относительно диаметральной оси. При существенных моментах инерции диска необходимо учитывать дополнительные силовые моменты: инерционный и гироскопический, возникающие из-за поворота диска и из-за изменения направления вектора угловой скорости диска.

Рисунок!

При этом прогнувшийся вал может вращаться вокруг оси 00 с угловой скоростью W, отличной от w, причем направление угловой скорости W будет совпадать или будет противоположным угловой скорости w. На рис. 2 показана схема этого движения, называемого в механике прецессионным. Здесь плоскость, в которой лежит упругая линия вала, вращается с угловой скоростью W против часовой стрелки, а диск вращается с угловой скоростью w вокруг касательной, лежащей в упомянутой плоскости, по часовой стрелке (если смотреть справа). В зависимости от направления угловых скоростей W и w прецессионное движение может быть прямым или обратным. Прецессия называется прямой если направления w и W совпадают. Если W и w равны, то прецессионное движение называется синхронным.

0) (сила инерции);

1) (инерционный момент, вызванный поворотом диска),

здесь – экваториальный (диаметральный) момент инерции;

2) (гироскопический момент от изменения направления вектора момента количества движения),

В проекциях на оси x и y моменты сил инерции со стороны диска на вал представляются в виде суммы проекций инерционного и гироскопического моментов:

; (1)

Полагая при собственных колебаниях гармонический закон изменения проекций угла α, имеем .

; (2)

; (3)

; (4)

Из (2) и (4) ; (5)

Суммарные моменты, действующие на диск, равны моментам, действующим на вал, но с обратным знаком:

; (6)

Рассмотрим колебания в горизонтальной плоскости.

Если вал не вращается (ω=0), ; (7)

Систему можно представить в виде системы с двумя степенями свободы: прогиб и поворот диска.

; (8)

Подставив значения для силы и момента инерции, получим: ; (9)

При собственных колебаниях ротора принимаем: ; (10)

Подставив (10) в (9), получим ; (12)

; (13)

; (14)

Где – частота точечной массы (θ_п=0, θ_э=0), , .

Низшая собственная частота p₁ и первая форма колебаний соответствует синфазным линейным и угловым колебаниям диска, высшая частота и вторая форма соответствуют противофазным линейным и угловым колебаниям диска, когда сила инерции вызывает угловую деформацию вала противоположного знака по отношению к угловой деформации, вызываемой инерционным моментом.

В частном случае линейное и угловое движения являются независимыми. Это наблюдается при расположении диска посередине пролета. В этом случае , и собственная частота ротора определяется как .

 

КРИТИЧЕСКИЕ СКОРОСТИ РОТОРА С НЕССИМЕТРИЧНО РАСПОЛОЖЕННЫМ ДИСКОМ

Прецессионное движение (картинки про прямую и обратную)

Уравнения для моментов, которые действуют на вал со стороны диска:

; (6)

; (15)

; (16)

Здесь – коэффициент прецессии.

Известно, что для тонкого диска , таким образом при прямой прецессии А=-1, для обратной – А=3, если ω=0, тогда А=1.

Найдем значение результирующего момента, действующего на вал:

; (17)

; (18)

 

· Рассмотрим прямую синхронную прецессию

Рассмотрим перемещение в плоскости rOz (обратный метод)

; (19)

Сила Р представлена силами инерции и определяется следующим образом

, (20)

где е - эксцентриситет (расстояние между центром масс диска и геометрическим центром сечения вала).

Подставим выражения для Р и М в систему уравнений (19) и получим в результате преобразований:

; (21)

Критическая частота вращения ротора - это частота вращения ротора, при которой прогибы вала резко увеличиваются. Ее можно найти, приравняв главный определитель системы нулю. Раскрывая главный определитель, разрешаем полученное уравнение относительно критической частоты вращения ротора. После простых преобразований можно получить выражение для вычисления критической скорости вращения ротора при прямой синхронной прецессии

; (22)

Где – частота точечной массы (θ_п=0, θ_э=0), , .

Оказывается, что при прямой синхронной прецессии мы имеем только одну критическую частоту (для тонких дисков). При этом ω_кр>p₀.

Вернемся к (16)

Рисунок!

Из рис. 4 видно, что при прямой прецессии действующий на вал результирующий момент М уменьшает прогиб вала (координата r уменьшается), что как бы соответствует увеличению естественной жесткости вала. Очевидно, что частота собственных изгибных колебаний вала в этом случае должна быть выше, чем при отсутствии влияния дополнительных моментов.

· Рассмотрим обратную синхронную прецессию

Снова, воспользовавшись обратным методом, рассмотрим систему с двумя степенями свободы, обобщенные координаты для которой r и  . Прогиб вала r и угол α поворота сечения вала будут определяться следующими уравнениями:

; (23)

Подставив значения для силы из формулы (20) и для момента из (18), получим систему уравнений: ; (24)

; (25)

Где – частота точечной массы (θ_п=0, θ_э=0), , .

Рисунок!

Из рис. 5 видно, что при обратной прецессии, действующий на вал результирующий момент М, увеличивает прогиб вала (координата r увеличивается). Это приводит к тому, что естественная жесткость вала как бы уменьшается, поэтому частота собственных изгибных колебаний вала должна уменьшиться.

Неск рисунков из 3ей лекции, начала, в частности вибр диаграмма

Прямая синхронная прецессия появляется из-за неуравновешенности ротора (e>0). Причинами обратной прецессии могут служить пульсации (в результате срывных явлений и волн).

ВЛИЯНИЕ ВНЕШНЕГО И ВНУТРЕННЕГО СОПРОТИВЛЕНИЯ НА УСТОЙЧИВОСТЬ КОЛЕБАНИЙ РОТОРА

Для ротора турбомашины действующие силы сопротивления могут быть разделены на внешние (силы сопротивления среды) и внутренние (сопротивление внутреннего механического трения и конструкционное во фланцевых или хиртовых соединениях). Указанные силы сопротивления могут оказывать различное влияние на устойчивость колебаний вращающихся роторов. Рассмотрим, в частности, проявление внутреннего сопротивления.

При прямой синхронной прецессии никаких сил внутреннего сопротивления не появляется.

Рисунок!

Ротор дважды деформируется с изменением напряжений за один оборот.

Рассмотрим прецессионное движение вала с одним диском посередине и рассмотрим это движение на комплексной плоскости.

Положение центра диска в системе координат x₀0y₀ определяется уравнением:

; (1)

Вектор сил внешнего трения, полагая его пропорциональным скорости:

; (2)

Полагаем, что одновременно вал вращается вокруг своей оси с угловой скоростью ω. Рассмотрим одновременно вращающуюся систему координат x₁Oy₁ с началом координат на линии опор. Положение центра диска во вращающейся системе координат будет описываться уравнением:

; (3)

Вектор сил внутреннего трения: ; (4)

Определяя скорость перемещения дифференцированием уравнения (3) и подставляя полученное выражение в (4), получим:

; (5)

Величина определяет силу внутреннего трения в вале во вращающейся системе координат x₁Oy₁. Для перехода к системе неподвижных осей необходимо уравнение (5) домножить на :

; (6)

Составим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний с учетом внешнего и внутреннего трения:

; (7)

· Рассмотрим устойчивость собственных колебаний (ΔP=0) :

; (8)

Решение однородного уравнения, определяющего свободные колебания, будем искать в виде:

; (9)

В результате подстановки (9) в (8): , (10)

где

Выделим мнимую и действительную части в уравнении (10), приравняв их к нулю, получим:

; (11)

; (12)

Из анализа соотношения (12) следует:

1) a>0, т.е. – колебания с нарастанием амплитуды (неустойчивый режим);

2) a<0, т.е. – затухающие колебания;

3) a=0 – граница возникновения автоколебаний, колебания с постоянной амплитудой. В данном случае, из уравнения (11), , а из уравнения (12) - ; (13)

а) Если отсутствует внешнее сопротивление (H=0), тогда .

б)

При малых Н ≈ 0 автоколебания будут наблюдаться во всем диапазоне частот ω > р (зарезонансные режимы). Задача конструктора в том, чтобы границу автоколебаний максимально сместить в сторону больших частот в зависимости от отношения Н/µ.

Мероприятия по обеспечению безопасной работы:

- применение внешних демпферов (повышение Н),

- использование ограничителей прогиба,

- повышение собственной частоты,

- применение специальных конструкций (например, цельнокованые роторы вместо сборных) и материалов роторов, которые обеспечивали бы малые значения внутреннего сопротивления (снижение µ).

 

· Рассмотрим устойчивость колебаний при наличии внутреннего и внешнего трения.

; (1)

Уравнение движения (1) будем решать, представив частное решение неоднородного уравнения в виде

; (2)

Перемещение всегда отстает по фазе от изменения силы, поэтому ставим индекс «*», иначе считалось бы, что сила и перемещение синфазны .

Подставив (2) в (1), имеем уравнение амплитуд:

, (3)

решение которого имеет вид:

; (4)

Неуравновешенность ротора ( ) вызывает прямую синхронную прецессию ( ) и решение упрощается:

;

В случае обратной синхронной прецессии решение принимает вид:

.

Можно сделать вывод, что уменьшая внутреннее трение материала и увеличивая внешнее трение, отодвигаются вправо автоколебания. Внешнее трение мы можем увеличить, применяя демпферы. Демпферы также хорошо работают при резонансе, уменьшая амплитуду колебаний.