Сейсмическая томография на временных задержках

Время пробега луча — функция скорости и геометрии лучевойтраектории. Можно ставить задачу реконструкции скоростного закона , по множеству измерений времени на поверхности Земли:

(2.28)

Особенностью этой задачи служит то, что неизвестная скоростная функция в неявном виде присутствует и в определении лучевой траектории S_i. Это приводит к существенной нелинейности задачи реконструкции . В значительном числе случаев известно нулевое приближение к скоростному закону и следует уточнить поправки к нулевому приближению так, чтобы наблюдаемые времена прихода и рассчитанные были близки друг к другу. Исходя из скоростного закона , можно рассчитать траектории лучей в модели нулевого приближения. Обозначим время, предсказываемое начальной моделью, :

Здесь — траектория луча в начальной модели. Определим время задерж­ки как

Или:

(2.29)

Задача (29) представляет собой задачу сейсмической томографии. Измерены временные задержки. Задана начальная модель, следует реконструировать поправочные слагаемые к модели начального приближения. Это уравнение можно формально записать в виде отображения с помощью линейного оператора пространства функций поправок в пространство временных задержек :

(2.30)

Это операторная запись соотношения (30). Уравнение (29) практически повторяет уже приведенные уравнения в 2.2 для задач ультразвуковой и акустической томографии. Однако спецификой сейсмических задач служит неполнота данных – невозможность получить временные задержки по всем необходимым траекториям. Это делает невозможным использование методов интегральных преобразований для обращения уравнения (29). Основными оказываются алгебраические методы. Их суть состоит в следующем.

Разобьем область , в которой происходит процесс распространения волн, на элементарные ячейки , которые пронумеруем индексом j. Сделаем это таким образом, чтобы в пределах каждого из функция принимала постоянное значение равное . Обозначим длину луча, имеющего нумерацию , проходящего через объем через . Тогда конечномерная модель задачи характеризуется системой уравнений:

, где . Особенностью матрицы A и, как следствие, свойства задачи восстановления модели распределения медленности состоит в том, что она:

1) имеет большую размерность: M= 500 – 1500, N= 300- 1000;

2) сильно разряжена и имеет ленточную структуру;

3) плохо обусловлена что проявляется в практической неединственности решения и его сильной зависимости от осцилляций во входных данных.

Эти особенности требуют развития специальных приемов вычисления.