Построение решений в спектральной форме

Принимаем за основу соотношение (42), характеризующее решение уравнения из экстремального класса . Выберем в качестве функции нулевое приближение к исходной модели среды. Тогда представляет собой спектр мощности нулевого приближения. Критерий оптимальности в содержательной форме имеет вид:

(7.48)

Здесь - функция, соответствующая оператору свертки . Представляется, что минимизация этого выражения соответствует максимизации с обратной в смысле алгебры сверток функцией:

(7.49)

Но в силу симметрии , следующей из того, что критерий (49) и (48) ассоциируется с требованием максимизации функции взаимной корреляции между искомым распределением плотности и заданным нулевым приближением (точнее его автокорреляционной функцией). Далее следует разработать устойчивый способ вычисления значения этого неограниченного оператора на заданном поле

Для устойчивого вычисления значения (42):

(7.42)

должны быть использованы методы регуляризации, рассмотренные ранее в гл. 4. Один конкретный способ вычислений излагается ниже.

Спектры функций, входящих в (42), заменяются коэффициентами ДПФ (дискретное преобразование Фурье), вычисляемыми по формуле:

(7.50)

Обратное преобразование задается соотношением:

(7.51)

Здесь: ,

- количество узлов сетки в направлении оси

- количество узлов сетки в направлении оси

Замена преобразования Фурье на ДПФ приводит к погрешностям. С целью уменьшения их влияния вместо вычисления1:

осуществляется расчет ДПФ от гравитационного эффекта соответствующего распределению плотности . Обозначим - область отличных от нуля коэффициентов Фурье функций предполагая, что коэффициенты при всех равны нулю. Кроме того, будем считать, что имеет нулевыми коэффициентами все те, которые отличны от нуля и Пусть:

(7.52)

Или:

(7.53)

Норму функций и определим равенствами:

(7.54)

Оператор (52) рассмотрим как отображение в с нормами (54). Тем самым определится и норма оператора (52). Далее для краткости письма там, где это не приводит к недоразумениям, отождествляем и с соответственно.

Имеем:

(7.55)

Следовательно, норма оператора (52) ограничена величиной . Вычислим, на сколько в норме (54) отличаются и .

Тогда после деления на :

(7.56)

следовательно, выбор из условия:

. (7.57)

обеспечивает согласованность погрешности, с которой задано (в смысле (54)), и величины параметра регуляризации .

При выборе параметра следует учитывать два, в общем, противоречивых обстоятельства. С одной стороны, увеличение приводит к повышению устойчивости решения (см. (55)). Оценка для из (57), обеспечивая заданную величину невязки, может не обеспечивать требуемую устойчивость, и наоборот. Фактически это означает лишь то, что регуляризующее слагаемое в знаменателе выбрано не лучшим образом. Для обеспечения заданного типа устойчивости и минимизации невязки воспользуемся итерационным процессом:

(7.58)

где - рассчитанный дискретный спектр гравитационного поля от .

Пусть Тогда итерационный процесс (58) сходится к элементу из с гравитационным эффектом, равным , причем:

(7.59)

(7.60)

Сходимость процесса (58) к постулируемому решению следует из оценок (59) и (60). Их и следует доказать. Из (55) имеем:

(7.61)

Из (56) следует:

. (7.62)

Подставляя последнее выражение в (61) получаем (59). Результат доказан.