Эффект компенсации. Уравнение Слуцкого

Пусть функция полезности потребителя зависит от двух благ: . Рассмотрим, как меняется спрос потребителя на товар по мере изменения его дохода.

Будем сравнивать оптимальный выбор при одном уровне дохода с оптимальным выбором при другом уровне дохода. При этом будем считать цены постоянными. Введем определения.

I. Если товар 1 нормальный, то спрос на него

а) увеличивается с ростом дохода,

б) уменьшается с сокращением дохода.

Другими словами, для нормального товара величина спроса всегда изменяется в том же направлении, что и доход: .

II. Если товар 1 «ненормальный» - товар низшей категории (товар Гиффена), то это товар, спрос на который снижается при снижении цены на него, но при неизменном доходе J и неизменных ценах на другие товары. Другими словами, оптимальный спрос на товар уменьшается при падении его цены. Приведем пример. Пусть имеем два вида товаров: овсяная крупа и молоко, и пусть цена на овсяную крупу снизилась, а цена на молоко и величина дохода осталась без изменения. В итоге оказалось, что спрос на овсяную крупу тоже снизился, а спрос на молоко увеличился (за счет сэкономленных денег на приобретение овсяной крупы). Следовательно, в данном случае товар – овсяная крупа – есть товар Гиффена. К товарам Гиффена относятся дешевая колбаса (низкосортная), фрукты падалица и др.

III. Если спрос на товар растет в большей степени, чем доход, то имеем товар – предмет роскоши. Если спрос на товар растет в меньшей степени, чем доход, то имеем товар – необходимое благо.

IV. Обычный товар – когда доход и цена товара 2 остаются неизменными, а цена на товар 1 снижается, то при этом товара 1 покупают больше.

Перекрестные функции спроса от цен при неизменном доходе характеризуют такие свойства товаров, как взаимозаменяемость или взаимодополняемость. Если при росте цены на товар i и соответственно снижении спроса на i–ый товар растет спрос на товар j, то эти товары взаимозаменяемы. Напротив, если спрос на j–й товар так же падает, то эти товары взаимодополняемы.

Следует заметить, что реальная взаимозаменяемость товара i товаром j может искажаться общим снижением благосостояния при росте цены i–го блага: j-е благо может заменять i–е благо в потреблении, но спрос на него может не расти, поскольку снизилось общее благосостояние потребителя. Для снятия этого искажения используют понятие компенсированного изменения цены, то есть такого, которое сопровождается увеличением дохода потребителя, позволяющим ему поддерживать прежний уровень благосостояния. Практически компенсированное изменение цены изображается следующим образом (рис.10).

Имеем функцию полезности , где x₁– приобретаемое количество блага 1, а x₂– приобретаемое количество блага 2; p₁ – цена блага 1; p₂ – цена блага 2, J – доход. Прямая 1, проходящая через точки и - бюджетное ограничение, l₁ – кривая безразличия, точка А – точка касания бюджетной прямой с кривой безразличия. Координаты точки - оптимальные количества соответственно блага 1 и блага 2.

Рис. 10. Иллюстрация эффектов дохода и замещения

Пусть цена блага 1 понизилась с p₁до . Тогда бюджетная прямая из положения 1 перейдет в положение 2 (проходит через точки и ). Так как кривые безразличия заполняют все пространство , то обязательно найдется одна кривая безразличия, например, l₂, имеющая с бюджетной линией 2 точку касания. Обозначим эту точку через С. Она будет оптимальным решением задачи потребителя при новых ценах , p₂, и первоначальном доходе J.

В точке С полезность будет больше, чем в точке , за счет увеличения на величину потребления первого товара. Это стало возможным в результате роста покупательской способности потребителя (его реального дохода), благодаря снижению цены на первый товар. Что произошло при этом с объемом потребления второго товара? Он снизился на величину . Здесь отражена та реальность, когда люди потребляют большее количество (качественного) товара, который подешевел, и меньшее количество тех товаров, которые остались на прежнем ценовом уровне или подорожали.

Если мы хотим компенсировать потребителю «потерю» благосостояния, то есть чтобы оптимальный набор благ 1 и 2 остался на прежней кривой безразличия l₁, то изменим его доход так, чтобы новая бюджетная прямая 3, параллельная линии 2, коснулась прежней (первоначальной) линии безразличия l₁ в некоторой точке . Направленный отрезок показывает «эффект замены» при изменении цены p₁на , то есть изменение структуры спроса при условии поддержания прежнего уровня благосостояния. Направленному отрезку соответствуют координаты (компоненты)

на оси

на оси

Значит, имеем вектор . Направленный отрезок отражает «эффект дохода», то есть изменение потребительского спроса при сохранении цен благ и изменении уровня дохода. Координаты (компоненты) вектора

на оси

на оси

Значит, имеем вектор .

Общий результат снижения цены p₁до при отсутствии компенсации выражается направленным отрезком (вектором) с координатами на оси и на оси , то есть . Следовательно, окончательно получаем, что общее изменение спроса есть

или

(26)

Примечание.

, то есть общее изменение спроса есть сумма эффекта замещения и эффекта дохода.

Тождество (26) называется тождеством Слуцкого.

Суть данного тождества заключается в интерпретации двух членов в правой части: эффекта замещения и эффекта дохода. Эффект замещения всегда действует в сторону, противоположную движению цены. Значит, эффект замещения всегда отрицательный, поскольку изменение спроса, вызываемое эффектом замещения, противоположно изменению цены: если цена на данный товар растет, спрос на него вследствие действия эффекта замещения уменьшается.

В то время как эффект замещения должен быть всегда отрицателен – противоположен направлению изменения цены, эффект дохода может действовать в обоих направлениях. Следовательно, общий эффект может быть положительным или отрицательным. Однако, в случае нормального товара эффект замещения и эффект дохода действуют в одном и том же направлении. Рост цены означает, что спрос сократится вследствие действия эффекта замещения. Рост цены подобен сокращению дохода, которое в случае нормального товара означает сокращение спроса. Оба эффекта усиливают друг друга. В принятых нами обозначениях изменение спроса вследствие роста цены нормального товара означает:

(знаки «минус» под каждым членом указывают, что каждый член этого выражения отрицателен).

Обратим особое внимание на знак эффекта дохода. Поскольку мы рассматриваем ситуацию роста цены, это подразумевает снижение покупательной способности, что для нормального товара означает сокращение спроса.

С другой стороны, если мы рассматриваем товар низшей категории, может случиться так, что эффект дохода превысит эффект замещения, так что общее изменение спроса, связанное с изменением цены, в действительности окажется положительным. В этом случае мы имели бы

.

Если бы второй член в правой части тождества – эффект дохода – был достаточно велик, общее изменение спроса могло бы быть положительным. Это означало бы, что рост цены может иметь результатом увеличение спроса. Это – «ненормальный» случай товара Гиффена, описанный нами ранее: рост цены столь сильно сокращает покупательскую способность потребителя, что последний увеличивает спрос на товар низшей категории.

Тождество Слуцкого показывает, что такого рода «ненормальный» эффект может иметь место лишь для товаров низшей категории: если товар нормальный, то эффекты дохода и замещения друг друга усиливают, так что общее изменение спроса всегда происходит в «правильном» направлении.

Пример 10. Пусть функция спроса данного потребителя на молоко имеет вид: . Первоначально доход потребителя составляет у.д.е. в неделю, а цена молока у.д.е. за 1 литр. Затем цена на молоко падает до 2 у.д.е. за 1 литр. Вычислить эффект замещения и эффект дохода.

Решение.

1. Первоначальный спрос потребителя на молоко при у.д.е. и у.д.е.:

(л) в неделю.

2. Спрос потребителя на молоко при и у.д.е.

(л) в неделю.

3. Общее изменение спроса: л в неделю.

4. Величина изменения дохода (на сколько должен был бы измениться доход, чтобы при цене молока в 2 у.д.е. за 1 литр, первоначальное потребление молока стало доступным):

.

5. Уровень дохода, необходимый для того, чтобы сохранить покупательскую способность неизменной:

(у.д.е).

6. Величина спроса потребителя на молоко при новой цене у.д.е. за 1 литр и при указанном уровне дохода :

(л) в неделю.

7. Эффект замещения:

(л).

8. Эффект дохода:

(л).

Проверка:

Ответ: эффект замещения 1,3 л;

эффект дохода 0,7 л;

общее изменение спроса 2 л.

Если к тождеству Слуцкого применить теорию дифференциального исчисления, то можно вывести следующее уравнение. В координатной форме уравнение Слуцкого имеет вид:

. (27)

Это уравнение было опубликовано в 1915 г. российским математиком, статистиком Е.Е. Слуцким, и его называют основным уравнением теории ценности. Уравнение (27) позволяет увязать действие эффекта замены и эффекта дохода с результирующим изменением спроса.

В уравнении (27) в правой части первая компонента описывает действие эффекта замены, а вторая компонента - действие эффекта дохода, выраженное в тех же единицах измерения (множитель приводит их к одной размерности).

Слева записано результирующее воздействие на спрос, которое складывается из изменения структуры спроса и общего его изменения при изменении уровня реального дохода. Это «отклик» точки спроса на изменение цены j–го товара при неизменном доходе.

Уравнение (27) используют для характеристики типов товаров. В общем случае каждый товар попадает в одну из следующих категорий.

1. Нормальный и ценный ( ; );

2. Нормальный и малоценный ( ; );

3. Товар Гиффена и малоценный ( ; ).

Закон спроса. Если с ростом дохода спрос на товар увеличивается, то с ростом цены данного товара спрос на него должен уменьшаться.

Это следует непосредственно из уравнения Слуцкого: если при росте дохода спрос на товар растет, перед нами нормальный товар. А если мы имеем дело с нормальным товаром, то эффект замещения и эффект дохода друг друга усиливают и рост цены непременно приведет к сокращению спроса.

Пример 11. Целевая функция потребителя зависит от двух благ: . Пусть цены благ равны соответственно 20 у.д.е. и 4 у.д.е., а доход потребителя 120 у.д.е. Затем цена p₂меняется с 4 у.д.е. до 10 у.д.е. Вычислить необходимый размер компенсации.

Решение.

1. Для функции выводится система уравнений ,

из которой получаем равенства: и

2. Тогда

и .

3. Цена на благо 2 увеличилась с 4 у.д.е. до 10 у.д.е. Чтобы приобрести прежний оптимальный набор благ 1 и 2, потребителю необходимо получить дополнительно (10-4)×15=90 (у.д.е.).

4. Однако прежняя структура потребления не будет оптимальной при новых ценах, и минимальная необходимая компенсация будет меньше, чем 90 у.д.е.

5. Чтобы вычислить необходимую минимальную компенсацию, предположим, что потребитель получает дополнительное количество M условных денежных единиц. Тогда при новых ценах его спрос на первое и второе блага будет равен соответственно:

и .

6. Целевая функция будет равна:

,

то есть равна прежнему оптимальному значению .

Решив квадратное уравнение: , получаем, что у.д.ед. Это значительно меньше, чем 90 у.д.ед. (69,74<90 на 20,26 у.д.ед.).

Ответ: у.д.ед.