Декурсивный метод начисления простых процентов

Начисление простых ставок применяется, как правило, при краткосрочном кредитовании.

Введем обозначения:

S – наращенная сумма, р.;

P – первоначальная сумма долга, р.;

i – годовая процентная ставка (в долях единицы);

n – срок ссуды в годах.

В конце первого года наращенная сумма долга составит

S₁ = P + P i = Р (1+ i);

в конце второго года:

S₂ = S₁ + P i = Р (1+ i) + P i = Р (1+ 2 i );

в конце третьего года:

S₃ = S₂ + Pi = Р (1+ 2 i) + P i = Р (1+3 i) и так далее.

В конце срока n: S₁ = Р (1+ n i).

Это формула наращения по простой ставке процентов.

Надо иметь в виду, что процентная ставка и срок должны соответствовать друг другу, т.е. если берется годовая ставка, то срок должен быть выражен в годах (если квартальная, то и срок – в кварталах и т.д.).

Выражение в скобках представляет собой коэффициент наращения по простой ставке процентов:

К_Н = (1+ n i).

Следовательно,

S₁ = Р К_Н.

Задача.1

Банк выдал ссуду в размере 5 млн р. на полгода по простой ставке процентов 12% годовых. Определить погашаемую сумму.

Решение:

S = 5 млн. (1 + 0.5 · 0.12) = 5 300 000 р.

Если срок, на который деньги берутся в долг, задан в днях, наращенная сумма будет равна S = Р (1 + д/К · i),

где д – продолжительность срока в днях;

К – число дней в году.

Величину К называют временной базой.

Временная база может браться равной фактической продолжительности года – 365 или 366 (тогда проценты называются точными) или приближенной, равной 360 дням (тогда это обыкновенные проценты).

Значение числа дней, на которые деньги взяты в долг, может также определяться точно или приближенно. В последнем случае продолжительность любого целого месяца принимается равной 30 дням. В обоих случаях дата выдачи денег в долг и дата их возвращения считается за один день.

 

Задача.2

Банк выдал ссуду в размере 200 тыс. р. с 12.03 по 25.12 (год високосный) по ставке 7% годовых. Определить размер погашаемой суммы с различными вариантами временной базы при точном и приближенном числе дней ссуды и сделать вывод о предпочтительных вариантах с точки зрения банка и заемщика.

Решение:

Точное число дней ссуды с 12.03. по 25.12:

20+30+31+30+31+31+30+31+30+25=289.

Приближенное число дней ссуды:

20+8·30+25=285;

а) Точные проценты и точное число дней ссуды:

S =200 000 (1+289/366 · 0.07) = 211 016 р.;

б) обыкновенные проценты и точное число дней ссуды:

S =200 000 (1+289/360 · 0.07) =211 200;

в) обыкновенные проценты и приближенное число дней ссуды:

S= 200 000 (1+285/360 · 0.07) =211 044;

г) точные проценты и приближенное число дней ссуды:

S= 200 000 (1+285/366 · 0.07) =210 863.

Таким образом, самая большая наращенная сумма будет в варианте б) – обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды, а самая маленькая – в варианте г) – точные проценты с приближенным числом дней ссуды.

Следовательно, с точки зрения банка как кредитора предпочтительным является вариант б), а с точки зрения заемщика – вариант г).

Надо иметь в виду, что кредитору в любом случае более выгодны обыкновенные проценты, а заемщику – точные (при любых ставках – простых или сложных). В первом случае наращенная сумма всегда больше, а во втором случае – меньше.

Если ставки процентов на разных интервалах начисления в течение срока долга будут различными, наращенная сумма определяется по формуле

N

S = Р (1 + ∑ n_t • i_t),

t=1

где N – количество интервалов начисления процентов;

n_t – длительность t-го интервала начисления;

i_t – ставка процентов на t- м интервале начисления.

 

Задача 3

Банк принимает вклады по простой ставке процентов, которая в первый год составляет 10%, а потом каждые полгода увеличивается на 2 процентных пункта. Определить размер вклада в 50 тыс. р. с процентами через 3 года.

Решение:

S = 50 000 (1 + 0.1 + 0.5 • 0.12 + 0.5 • 0.14 + 0.5 • 0.16 + 0.5 • 0.18) = 70 000 р.

Используя формулу для наращенной суммы, можно определить срок ссуды при прочих заданных условиях.

Срок ссуды в годах:

S – P

N = ————.

P • i

 

Задача.4

Определить срок ссуды в годах, за который долг 200 тыс. р. возрастет до 250 тыс. р. при использовании простой ставки процентов – 16% годовых.

 

Решение:

(250 000 – 200 000) / (200 000 • 0.16) = 1.56 (лет).

Из формулы для наращенной суммы можно определить ставку простых процентов, а также первоначальную сумму долга.

 

Решить самостоятельно

Задача 5

При выдаче кредита 600 тыс. р. оговорено, что заемщик вернет через два года 800 тыс. р. Определить использованную банком величину ставки процентов. Ответ: 17%.

Задача 6

Ссуда, выданная по простой ставке 15% годовых, должна быть возвращена через 100 дней. Определить сумму, полученную заемщиком, и сумму процентных денег, полученных банком, если возвращаемая сумма должна составить 500 тыс. р. при временной базе 360 дней.

Ответ: 480 000 р.

 

Операцию нахождения первоначальной суммы долга по известной погашаемой называют дисконтированием. В широком смысле термин "дисконтирование" означает определение значения Р стоимостной величины на некоторый момент времени при условии, что в будущем она будет равна заданному значению S. Подобные расчеты называют также приведением стоимостного показателя к заданному моменту времени, а значение Р, определенное дисконтированием, называют современным, или приведенным, значением стоимостной величины. Дисконтирование позволяет учитывать в стоимостных расчетах фактор времени. Коэффициент дисконтирования всегда меньше единицы.

Формула дисконтирования по простой ставке процентов:

P = S / (1 + ni), где 1 / (1 + ni) – коэффициент дисконтирования.