Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат
Пусть на плоскости Оху одновременно введена и полярная система координат Orφ (рис. 2.9): Оp - полярная ось, которая совпадает с осью Ох;
Для полярной системы координатная сетка представляет собой пересечение окружностей увеличивающихся радиусов r с лучами, выходящими из точки О под возрастающими углами φ к полярной оси (рис. 2.10). Рассмотрим элементарный участок полярной сетки (рис. 2.11). Тогда его площадь ΔS можно найти как разность площадей S1 и S2 полярных секторов радиусов r+Δr и r с раствором угла Δφ: При Δr 0, Δφ 0 получаем ΔS≈ r·Δr·Δφ. Таким образом, при замене переменных по формуле (2.12) дифференциал площади в полярной системе координат преобразуется так:
Формулу (2.13) можно получить и по-другому, используя Якобиан J - "коэффициент искажения" площади при переходе к другой системе координат. А именно что совпадает с (2.13).
Если область D - является правильной в полярной системе координат Оrφ, то двойной интеграл в этих координатах вычисляется так:
Тройной интеграл. Чтобы ввести понятие тройного интеграла, предварительно рассмотрим задачу о нахождении массы тела переменной плотности. Пусть в системе координат Оxyz (рис. 2.18) задано некоторое ограниченное тело U с переменной плотностью γ=f(x;y;z)>0, (x;y;z) U. Требуется приближенно вычислить массу этого тела. Для этого разрежем это тело на n "достаточно мелких частей" ΔUi,i=1,2,...,n. Внутри этого "кусочка" можно принять, что γ ≡ const=f(Mi), где Mi(x;y;z) - некая "средняя" точка в ΔUi. Обозначим объём "кусочка" ΔUi через ΔVi, тогда масса "кусочка" ΔMi: ΔMi≈f(Mi)·ΔVi. А для всего тела: √ получена интегральная сумма. Затем переходим к пределу при n ∞ и ΔVi 0, i=1,2,...,n и получаем: Если предел (2.23) интегральной суммы существует, то он называется тройным интегралом от функции f(x;y;z) по объему U и обозначается: После этого можно сформулировать более точное и общее определение тройного интеграла.
Пусть f(x;y;z), (x;y;z) U - произвольная функция трех переменных, U - ограниченная трехмерная область. Разобьем U произвольным образом на части ΔU1, ΔU2,...,ΔUn. В каждой из них возьмем произвольную точку Mi(xi;yi;zi) Ui и составим интегральную сумму: Если существует предел интегральной суммы: не зависящий от способа разбиения U на n частей ΔU1, ΔU2,...,ΔUn, а также от произвола в выборе точек Mi Ui, то этот предел I обозначается через и называется тройным интегралом от функции f(x;y;z) по объёму U. При этом функция f(x;y;z) называется интегрируемой по U.
Если f(x;y;z), (x;y;z) U непрерывна, то она интегрируема по U.
Тройные интегралы от непрерывных функций называются собственными тройными интегралами (или просто тройными интегралами), а тройные интегралы от разрывных функций - несобственными тройными интегралами. В дальнейшем считаем, что все появляющиеся в тексте функции (если это не оговорено особо) интегрируемы по объёму. *********************
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (652)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |