Свойства степенных рядов
Теорема (Абеля) 1) Если степенной ряд сходится при некотором значении , то абсолютно сходится при всяком значении , для которого справедливо . 2) Если степенной ряд расходится при некотором значении , то он расходится при всяком : .
Заметим, что теорема Абеля позволяет судить о расположении точек сходимости и расходимости степенного ряда. Действительно, если точка х0 – точка сходимости, то интервал заполнен точками абсолютной сходимости. Если – точка расходимости, то вся бесконечная полупрямая вправо от точки и вся полупрямая влево от точки – состоит из точек расходимости. Из этого можно заключить, что существует число R>0, что при мы имеем точки абсолютной сходимости, а при – точки расходимости.
Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в ряд Тейлора. Ряд Тейлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Ряды Тейлора применяются при аппроксимации функции многочленами. В частности, линеаризация уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка. Определение Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки a. Формальный ряд называется рядом Тейлора функции f в точке a. В случае, если a = 0, этот ряд также называется рядом Макло́рена Свойства
Ряды Маклорена некоторых функций Экспонента: Натуральный логарифм для всех Биномиальное разложение: для всех и всех комплексных где В частности:
для всех для всех | x | < 1
для всех Тригонометрические функции: для всех для всех для всех для всех
43.Разложение функций в ряд по степеням x. формуларяда Маклорена (1) 1. . Имеем ; . Тогда по формуле (1) . Областью сходимости данного ряда является вся числовая прямая, т.е. . 2. . Имеем , откуда и т.д. Очевидно, что производные четного порядка , а нечетного порядка , где .Поэтому по формуле (1) имеем . Область сходимости ряда . 3. . Рассматривая аналогично предыдущему, получим . Область сходимости ряда . 4. , где – любое действительное число. Имеем При получим Тогда по формуле (1) имеем . Интервал сходимости ряда (на концах интервала сходимость зависит от конкретных значений ). 5. для всех 6. для всех
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (514)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |