Вычисление потока векторного поля через замкнутую поверхность. Теорема Остроградского-Гаусса
Пусть задано векторное поле
Дивергенцией или расходимостью векторного поля называется скалярная функция, определяемая равенством: С учетом понятий дивергенции и потока векторного поля формулу Остроградского можно представить в форме: т. е. поток векторного поля через замкнутую поверхность S в направлении внешней нормали равен тройному интегралу от дивергенции векторного поля по области, ограниченной этой поверхностью. На основании формулы (3.38) можно записать: и, переходя к пределу, стягивая V в точку М (при этом величина V 0 ), имеем: То есть есть предел отношения потока поля через бесконечно малую замкнутую поверхность, окружающую точку М, к величине объёма, ограниченного этой поверхностью. Из этого следует, что дивергенция не зависит от выбора системы координат. Если поток , то в область V втекает большее количество жидкости (если следовать ранее рассмотренному примеру о течении несжимаемой жидкости), чем вытекает из неё, т.е. внутри области V имеются источники жидкости. Если П < 0, то внутри области V есть стоки. Но поток векторного поля характеризует интенсивность источников и стоков лишь суммарно, т. е. приП ≥ 0 внутри области V могут быть как источники, так и стоки. Для характеристики точки можно использовать . Если > 0, то данная точка есть источник,если < 0 - то сток. Заметим, что можно записать с помощью символического вектора Гамильтона в следующем виде: ********************************* 21.Криволинейный интеграл первого рода, его свойства. Пусть АВ - дуга гладкой кривой (рис. 3.1), на которой определена и непрерывна скалярная функция f (x, y, z). Выполним следующие действия: 1) разобьем дугу АВ произвольным образом на n частичных дуг ΔS1, ΔS2, ..., ΔSi, ..., ΔSn. Через λn обозначим длину наибольшей из этих частичных дуг. Понятно, что при λn → 0 автоматически n → ∞; 2) выберем произвольным образом точки ; 3)составим интегральную сумму вида , здесь под ΔSi понимаем длины частичных дуг.
Конечный предел интегральной суммы αn при λn → 0, если он существует и не зависит от способа деления дуги АВ на частичные дуги ΔSi(i=1,...,n) и от способа выбора точек Ni(xi,yi,zi) ΔSi(i=1,...,n) называется криволинейным интегралом первого рода (по длине дуги) от функции f(x,y,z) по дуге АВ и обозначается Имеются самые различные истолкования криволинейного интеграла по длине дуги, как геометрические, так и физические.
1) при - длина дуги АВ; 2) если функцию f(x,y,z) интерпретировать как плотность распределения вещества вдоль дуги АВ, то - масса дуги АВ. Из определения криволинейного интеграла следует, что его величина не зависит от направления обхода дуги АВ, т.е. Отметим условия существования интеграла (3.1).
Если дуга АВ гладкая и функция f(x,y,z) непрерывна на ней, то интеграл (3.1) существует. Можно сформулировать и значительно более сильную теорему об условиях существования интеграла (3.1).
********************
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (790)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |