Дифференцируемость ФМП. Полный дифференциал. Уравнения Касательной и нормали
нормаль
N j N0
касательная плоскость Пусть N и N0 – точки данной поверхности. Проведем прямую NN0. Плоскость, которая проходит через точку N0, называется касательной плоскостью к поверхности, если угол между секущей NN0 и этой плоскостью стремится к нулю, когда стремится к нулю расстояние NN0. Определение. Нормальюк поверхности в точке N0 называется прямая, проходящая через точку N0 перпендикулярно касательной плоскости к этой поверхности. В какой – либо точке поверхность имеет, либо только одну касательную плоскость, либо не имеет ее вовсе. Если поверхность задана уравнением z = f(x, y), где f(x, y) – функция, дифференцируемая в точке М0(х0, у0), касательная плоскость в точке N0(x0,y0,(x0,y0)) существует и имеет уравнение: . Уравнение нормали к поверхности в этой точке: Пример. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке М(1, 1, 1). , Уравнение касательной плоскости: Уравнение нормали: Градиент и полная производная ФМП. Производная по направлению. Частные производные высших порядков Определение: Если в некоторой области D задана функция u = u(x, y, z) и некоторый вектор, проекции которого на координатные оси равны значениям функции u в соответствующей точке , то этот вектор называется градиентомфункции u. При этом говорят, что в области D задано поле градиентов.Градиент ф-ии 1) – вектор, координатами к-го явл. част. производные по x,y,z. Градиент направлен по нормали или линии уровня. (grad(u)*ē)=|grad(u)|*| ē |*cosφ ē=cosα*i+cosβ*j+cosγ*k |∂F/∂x*cosα+∂F/∂y*cosβ+∂F/∂z*cosj|=|∂F/∂l| |grad(u)|*cosφ=|∂F/∂l| Рассмотрим функцию u(x, y, z) в точке М( x, y, z) и точке М1( x + Dx, y + Dy, z + Dz). Проведем через точки М и М1 вектор . Углы наклона этого вектора к направлению координатных осей х, у, z обозначим соответственно a, b, g. Косинусы этих углов называются направляющими косинусамивектора . Расстояние между точками М и М1 на векторе обозначим DS. z
M
M1
y x предположим, что функция u(x, y, z) непрерывна и имеет непрерывн частные пр по переменным х, у и z. Тогда: Градиент и полная производная ФМП. Производная по направлению. Частные производные высших порядков , где e1, e2, e3 – беск малые при . Из геометрических соображений очевидно: Таким образом, ;
Заметим, что величина s является скалярной. Она лишь определяет направление вектора . Определение: Предел называется производной функции u(x, y, z) по направлению вектора в точке с координатами ( x, y, z).
23-24. Экстремум ФНП. Определение. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М0(х0, у0) верно неравенство то точка М0 называется точкой максимума. Определение. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М0(х0, у0) верно неравенство то точка М0 называется точкой минимума.
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1962)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |