Тройной интеграл: определение, свойства

Пусть задано пространств. тело D. В точках этого тела определена ф-ция U=f(x,y,z). Разобьем это тело на конечное число D_i –тых (i=1,2,3,…). В каждой области D_i выберем произвол. точку (x_i,y_i,z_i) и составим интегральную s_n=S ò(x_i,y_i,z_i) * DV_i Если сущ. предел и он конечный и он не зависит от способа деления обл. D на части и выбора точек (x_i,y_i,z_i) , то этот предел называют тройным интегралом по обл.D от ф-ции f(x,y,z) lim(l®0)s_n=òòò f(x,y,z)dx dy dz Следовательно m=òòòR(x,y,z)dxdydz

Св-ва тройного интеграла аналогично св-м двойного интеграла 1) Всякая интегрируемая в обл. D ф-ция ограничена в этой области.

2) Могут быть построены суммы Дарбу

верх S_t=S M_i * DV_i низ s_t=S m_i * DV_i

3) Необходимо и достаточное условие сущ. интеграла

lim(l®0)( S_t-s_t)=0

4) Как и в случае двойного интеграла сущ. тройной интеграл от любой непрерывной ф-ции, заданной в обл. D. Однако тройной интеграл сущ. и в случае, когда ф-ция f(x,y,z) имеет разрывы 1-го рода на конечном числе пов-тей данного тела D.

5)Тройной интеграл обладает св-вами линейности и аддетивности

òòò_Dfdx = òòò_D1fdx + òòò_D2 , где D=D1ÇD2

6)Если сущ. тройной интеграл от ф-ции f, то сущ. интеграл по модулю

и существует равенство

ôòòòô£ òòòôfôdv

Если функция fв области D ограничена какими-то числами m £ f £ М , то для тройного интеграла справидливо неравенство

mV_d £òòò ¦dv£M V_D

7) Имеет место теорема о среднем , т.е. если функция ¦(x,y,z) не-прерывная в области D , то справедливо равенство

òòò ¦dv = ¦ (X₀ , Y_o , Z₀) (X₀ , Y_o , Z₀)ÎD

45. Вычисление тройных интегралов

Определение: Тройным интегралом f(M) по обл. Ω ? R называется предел интегральной суммы

∑_k=1ⁿf(M_k)∆V_k = ∑_k=1ⁿf(ξ_k n_k ζ_k)V(Ω_k), если мелкость разбиения обл. Ω λ = max d(Ω_k) стремится к 0.

Единственное отличие от ДИ заключается в том, что при нахождении тройного интеграла интегрирование ведется не по двум, а по трем переменным, а областью интегрирования является не часть плоскости, а некоторая область в техмерном пространстве.

Суммирование производится по области v, которая ограничена некоторой поверхностью j(x, y, z) = 0.

Здесь х₁ и х₂ – постоянные величины, у₁ и у₂ – могут быть некоторыми функциями от х или постоянными величинами, z₁ и z₂ – могут быть функциями от х и у или постоянными величинами.

Пример. Вычислить интеграл

44 Замена переменной в двойном интеграле.Полярная система координат площ плоской фигуры

Расмотрим двойной интеграл вида , где переменная х изменяется в пределах от a до b, а переменная у – от j₁(x) до j₂(х).

Положим х = f(u, v); y = j(u, v) Тогда dx = ; dy = ; т.к. при первом интегрировании переменная х принимается за постоянную, то dx = 0. , т.е. подставляя это выражение в записанное выше соотношение для dy, получаем: Выражение называется Якобианомфункций f(u, v) и j(u, v).

Тогда Т.к. при первом интегрировании приведенное выше выражение для dx принимает вид (при первом интегрировании v = const, dv = 0), то при изменении порядка интегрирования, получаем соотношение:

44Вычисление ДИ в полярной сист координат. ,

a)

b)

c)