Метод вариации произвольных постоянных

Для этого сначала находят общее решение соответствующего однородного уравнения в виде:

Затем, полагая коэффициенты C_i функциями от х, ищется решение неоднородного уравнения:

Можно доказать, что для нахождения функций C_i(x) надо решить систему уравнений:

42. Двойные интегралы. Св-ва.

Задачи:

1)V цилиндроида

2) Масса пластинки с поверхностной плотностью ρ(х,у). толщиной принебрегаем.

Рассмотрим на плоскости некоторую замкнутую кривую, уравнение которой

f(x, y) = 0.

y

0 x

Совокупность всех точек, лежащих внутри кривой и на самой кривой назовем замкнутой областью D. Если выбрать точки области без учета точек, лежащих на кривой, область будет называется незамкнутой область D.

С геометрической точки зрения D - площадь фигуры, ограниченной контуром.

Разобьем область D на n частичных областей сеткой прямых, отстоящих друг от друга по оси х на расстояние Dх_i, а по оси у – на Dу_i. Вообще говоря, такой порядок разбиения наобязателен, возможно разбиение области на частичные участки произвольной формы и размера.

Получаем, что площадь S делится на элементарные прямоугольники, площади которых равны S_i = Dx_i × Dy_i .

В каждой частичной области возьмем произвольную точку Р(х_i, y_i) и составим интегральную сумму

где f – функция непрерывная и однозначная для всех точек области D.

Если бесконечно увеличивать количество частичных областей D_i, тогда, очевидно, площадь каждого частичного участка S_i стремится к нулю.

Определение: Если при стремлении к нулю шага разбиения области D интегральные суммы имеют конечный предел, то этот предел называется двойным интеграломот функции f(x, y) по области D.

42. Двойные интегралы. Св-ва.С учетом того, что S_i = Dx_i × Dy_i получаем:

В приведенной выше записи имеются два знака S, т.к. суммирование производится по двум переменным х и у.

Т.к. деление области интегрирования произвольно, также произволен и выбор точек Р_i, то, считая все площади S_i одинаковыми, получаем формулу:

Свойства двойного интеграла.

1)

2)

3) Если D = D₁ + D₂, то

4) Теорема о среднем. Двойной интеграл от функции f(x, y) равен произведению значения этой функции в некоторой точке области интегрирования на площадь области интегрирования.

5) Если f(x, y) ³ 0 в области D, то .

6) Если f₁(x, y) £ f₂(x, y), то .

7) .

41-42. вычисление двойных интегралов: а прямоуг б) крив область

41) Теорема:Пусть z = f(x,y) – ограниченная функция, заданная на прямоугольнике R = [a,b;c,d], и существует двойной интеграл по этому прямоугольнику Если для " X [a,b] существует одномерный интеграл то $ повт интеграл Док-во: Разобьем отрезки ab и cd отрезками a=x₀<x₁<…<x_n=b, c=y₀<y₁<…<y_n=d. Рассмотрим теперь частичный прямоугольник R_ik=[x_i,x_i+1;y_i,y_i+1] m_ik=inf f(x,y) M_ik=sup f(x,y) Rik Rik

На промежутке [x_i;x_i+1] возьмём точку x. Будем рас- сматривать точки, лежащие на прямой x = x.Получаем следующее неравенство m_ik£ f(x;y)£ M_ik y_k£ y£ y_k+1 Проинтегрируем его по отрезку [y_k; y_k+1]

42) Пусть в плоскости XOY задана плоскость Д, ограничен-ная следующими

кривыми: y=j₁(x) a £ x £ a – снизу; y=j₂(x) a £ x £ b – сверху; x = a – слева; x= b – справа; Тогда имеет место следующая теорема. Теорема: Если функция

41-42. вычисление двойных интегралов: а прямоуг б) крив область

f(x;y) задана в области Д такова, что существует двойной интеграл для любого фиксированного xÎ [a ; b] существует одно- мерный интеграл то тогда существует повторный интеграл Доказательство:

Обозначим c=inf j₁(x) a £ x £ b; d=max j₁(x) a £ x £ b и рассмотрим прямоугольник R=[a,b;c,d]ÉД. P=R\Д (раз- ность множеств). Построим вспомогательную функцию Рассмотрим Получаем равенство: