ФКП. Предел, непрер-ть, св-ва ф-й, имеющих предел
Если каждой т.z из обл. D комп. пл-ти Z по к.-л. правилу ставится в соответствие число w в обл. E, на пл-ти W, то говорят, что на множестве D задана ф-я комп-го переменного f(z)|D→E. ФКП f(z) наз-ся однозначной, если каждому числу z из обл. D ставится в соответ-е един-ое число w из обл. E. В противном случае ф-я наз-ся многозначной. Пусть ф-я w=f(z) опр. в нек. (z0). Определение: Число а наз-ся пределом ф-и f(z) при z→ z0 если:
При этом z→z0 всевозможными путями. Ф-и, имеющие предел в т.z0 обладают св-ми, анал-ми св-м ф-и действ-го переем-го: 1.Если , то он единственный. 2.Если то найдётся в которой f(z) ограничена, т.е | f(z)|≤ M; для любых z ϵ 3.Если = a ≠ 0, то найдётся в которой f(z) ≠ 0. 4.Если и то Определение: Ф-я f(z) наз-ся непр. в т.z0 если f(z) определена в u(z0) и ; Ф-я f(z) непр. только тогда, когда непр. её действ. и мнимая части. 24. Показ-я, тригон-ие, гипер-ие, логар-ая, общая степенная и общая показ-ая ФКП. Показательная функция: w = ez = ex+iy = exeiy = ex (cos y + i sin y) Тригонометрические функция: Sin z = Cos z = Sin z = sin (x+ iy) = sin x ch y + i cos x sh y Cos z = cos (x+ iy) = cos x ch y - i sin x sh y
Гиперболические функции: = ; ch z = Связь с тригонометрическими формулами: shz = ; ch z = cos (iz) Логарифмическая функция:
Лог-я ф-я Lnz опред-а на всей КП, кроме т. z=0 Общая степенная функция: ; Общая показательная функция ; Обратные тригонометрические и гиперболические ФКП. Обратные тригонометрические ф-и опред-ся как ф-и обратные тригонометрическим.
Все обратные тригонометрические ф-и яв-ся многозначными. Главные значения их (arcsin,…) получаются при k=0. Обратные гиперболические ф-и. ) Производная ФКП. Необходимые условия дифференцируемости функции в точке
Дост.усл-я диф-ти ф-и.Анал-ие и гармон-е ф-и. ТЕОРЕМА(Дост. усл-е диф-ти ФКП):Если ф-и U(x,y) и V(x,y) имеют в т.(x0, y0) непр. частные производные, удовл-ие усл-ю Коши-Римана, то ф-я f(z) диф-ма в т.z0=x0+iy0 Определение. Ф-я f(z) наз-ся анал-ой в т.z0, если она диф-ма в самой т.z0, и в нек. U(z0). Т.z0, в которой ф-я f(z) анал-на, наз-ся прав-ой т. f(z) Точка, в кот. Ф-я f(z) не анал-на или не определена, наз-ся особой точкой ф-и f(z) Гармонические ф-и: Пусть задана ф-я f(z)=U(x,y)+iV(x,y), причем U(x,y) и V(x,y) имеют непр. частные производные до 2го порядка включ-но. Пусть f(z) анал-ая ф-я, тогда для нее выпол-ся усл-я Коши-Римана: Сложим ур-я системы Введем обозначение - оператор Лапласа Тогда последнее ур-е можно переписать в виде ур-ие Лапласа. Ф-я удовл-я ур-ю Лапласа наз-ся гарм.ф-й, то есть мы показали, что действ-я часть анал-ой ф-и яв-ся гарм-й. Из усл-й Коши-Римана ⇒ мнимая часть анал-й ф-и яв-ся гарм-ой. Обратное верно. ТЕОРЕМА. Всякая гарм-ая ф-я явл-я действ. или мнимой частью нек. анал-ой ф-и.
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (541)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |