Действие над комплексными числами в тригонометрической форме, возведение в степень и извлечение корня n-ой степени из комплексного числа. Формула Эйлера
Комплексные числа и действия над ними. Изображение комплексных чисел на комплексной плоскости. Тригонометрическая форма комплексного числа. Комплексные числа. Определение. Комплексным числом zназывается выражение , где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением: При этом число a называется действительной частью числа z (a = Re z), а b- мнимой частью (b = Im z). Если a =Re z =0, то число z будет чисто мнимым, если b = Im z = 0, то число z будет действительным. Определение. Числа и называются комплексно – сопряженными. Определение. Два комплексных числа и называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части: Определение. Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю действительная и мнимая части. Понятие комплексного числа имеет геометрическое истолкование. Множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел за счет включения множества мнимых чисел. Комплексные числа включают в себя все множества чисел, которые изучались ранее. Так натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные числа являются, вообще говоря, частными случаями комплексных чисел. Если любое действительное число может быть геометрически представлено в виде точки на числовой прямой, то комплексное число представляется точкой на плоскости, координатами которой будут соответственно действительная и мнимая части комплексного числа. При этом горизонтальная ось будет являться действительной числовой осью, а вертикальная - мнимой осью.
у
A(a, b)
r b j 0 a x
Таким образом, на оси ОХ располагаются действительные числа, а на оси ОY – чисто мнимые. С помощью подобного геометрического представления можно представлять числа в так называемой тригонометрической форме. Тригонометрическая форма числа. Из геометрических соображений видно, что . Тогда комплексное число можно представить в виде: Такая форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа. При этом величина r называется модулемкомплексного числа, а угол наклона j -аргументомкомплексного числа. . Из геометрических соображений видно: Очевидно, что комплексно – сопряженные числа имеют одинаковые модули и противоположные аргументы.
Действие над комплексными числами в тригонометрической форме, возведение в степень и извлечение корня n-ой степени из комплексного числа. Формула Эйлера. Действия с комплексными числами. Основные действия с комплексными числами вытекают из действий с многочленами. 1) Сложение и вычитание. 2) Умножение. В тригонометрической форме: , С случае комплексно – сопряженных чисел: 3) Деление.
В тригонометрической форме: 4) Возведение в степень. Из операции умножения комплексных чисел следует, что В общем случае получим: , где n – целое положительное число. Это выражение называется формулой Муавра. Формулу Муавра можно использовать для нахождения тригонометрических функций двойного, тройного и т.д. углов. 5) Извлечение корня из комплексного числа. Возводя в степень, получим: Отсюда: Таким образом, корень n – ой степени из комплексного числа имеет n различных значений. 3.Показательная форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в показательной форме. Рассмотрим показательную функцию Можно показать, что функция w может быть записана в виде: Данное равенство называется уравнением Эйлера.Вывод этого уравнения будет рассмотрен позднее. (См. ). Для комплексных чисел будут справедливы следующие свойства: 1) 2) 3) где m – целое число. Если в уравнении Эйлера показатель степени принять за чисто мнимое число (х=0), то получаем: Для комплексно – сопряженного числа получаем: Из этих двух уравнений получаем: Этими формулами пользуются для нахождения значений степеней тригонометрических функций через функции кратных углов. Если представить комплексное число в тригонометрической форме: и воспользуемся формулой Эйлера: Полученное равенство и есть показательная форма комплексного числа. 4.Векторные функции скалярного аргумента. Предел, непрерывность, производная.. z
A(x, y, z)
х Пусть некоторая кривая в пространстве задана параметрически: x = j(t); y = y(t); z = f(t); Радиус- вектор произвольной точки кривой: . Таким образом, радиус- вектор точки кривой может рассматриваться как некоторая векторная функция скалярного аргумента t. При изменении параметра t изменяется величина и направление вектора . Запишем соотношения для некоторой точки t0: Тогда вектор - предел функции (t). . Очевидно, что , тогда . Чтобы найти производную векторной функции скалярного аргумента, рассмотрим приращение радиус- вектора при некотором приращении параметра t.
; ; или, если существуют производные j¢(t), y¢(t), f¢(t), то Это выражение – вектор производная вектора . Если имеется уравнение кривой: x = j(t); y = y(t); z = f(t); то в произвольной точке кривой А(xА, yА, zА) с радиус- вектором можно провести прямую с уравнением Т.к. производная - вектор, направленный по касательной к кривой, то . Свойства производной векторной функции скалярного аргумента. 1) 2) , где l = l(t) – скалярная функция 3) 4) Определение. Векторной функцией действительного аргумента называется правило, которое каждому действительному числу ставит в соответствие единственный определенный вектор.
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (978)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |