Свойства и геометрический смысл определенного интеграла
Пусть на промежутке [a;b] задана функция f(x). Будем считать функцию непрерывной, хотя это не обязательно. Выберем на промежутке [a;b] произвольные числа x1, x2, x3, ¼, xn-1, удовлетворяющие условию: Введем обозначения:Dx1 = x1 – a; Dx2 = x2 – x1; ¼, Dxn = b – xn-1. Составим сумму: . Она называется интегральнойсуммой функции f(x) по промежутку [a;b]. Очевидно, что интегральная сумма зависит от способа разбиения промежутка и от выбора точек ci. Каждое слагаемое интегральной суммы представляет собой площадь прямоугольника, покрытого штриховкой на рисунке 1. Введем обозначение: l = max(Dxi), i = 1, 2, ¼, n.. Величину l иногда называют параметром разбиения. Рассмотрим процесс, при котором число точек разбиения неограниченно возрастает таким образом, что величина l стремится к нулю. Определенным интегралом от функции по промежутку [a;b] называется предел, к которому стремится интегральная сумма при этом процессе, если предел существует: . Если такой предел существует, то он не зависит от первоначального разбиения промежутка [a;b] и выбора точек ci. Число a называетсянижним пределом интегрирования, а число b ¾ верхним пределом интегрирования. Рассмотрим фигуру, ограниченную графиком непрерывной, неотрицательной на промежутке [a;b] функции f(x), отрезком [a;b] оси X, и прямыми x = a; x = b. Такую фигуру называют криволинейной трапецией. На рисунке 2 криволинейная трапеция выделена штриховкой. Геометрический смысл определенного интеграла. Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и f(x) ≥ 0. Фигура, ограниченная графиком функции y=f(x), прямыми x=a, x=b и осью Ох (рис. 2), называется криволинейной трапецией. Площадь S этой трапеции определяется формулой . Таким образом, с геометрической точки зрения определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции. Если f(x) < 0 во всех точках промежутка [a;b] и непрерывна на этом промежутке (например, как изображено на рисунке 3), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной отрезком [a;b] горизонтальной оси координат, прямыми x = a; x = b и графиком функции y = f(x), определяется формулой . Перечислим свойства определенного интеграла: 1. (здесь k ‑ произвольное число); Если нижний и верхний пределы интегрирования равны (a=b), то интеграл равен нулю: Это свойство следует из определения интеграла.
2. Если f(x)=1, то Действительно, так как f(x)=1, то 3. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный: 4. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла: R. 5. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа интегрируемых на [a; b] функций f1(x), f2(x), …, fn(x) равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых: 6. (аддитивность определенного интеграла). Если существует интегралы и то существует также интеграл и для любых чисел a, b, c; 7. Если f(x) ≥ 0 [a; b], то a < b. 8 . (определенность определенного интеграла). Если интегрируемые функции f(x) и φ(x) удовлетворяют неравенству f(x) ≥ φ(x) [a; b], то a >b. 9. (об оценке определенного интеграла). Если m и М – соответственно нименьшее и наибольшее значения функции f(x), непрерывной на отрезке [a; b], то a < b. 10. (теорема о среднем). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то существует такая точка [a; b], что т. е. определенный интеграл от переменной функции равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой промежуточной точке ξ отрезка интегрирования [a; b] и длины b-a этого отрезка.
Все приведенные выше свойства непосредственно следуют из определения определенного интеграла. Оказывается, что формула из пункта 4 справедлива и тогда, когда cÏ[a;b]. Пусть, например, c>b, как изображено на рисунке 4. В этом случае верны равенства .
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (795)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |