Математическое ожидание случайной величины
Пусть задан закон распределения случайной величины x.
Математическое ожидание Мx (или М(x)) случайной величины x определяется формулой (9.6.2) Рассмотрим пример. Пусть в некотором магазине, торгующем электробытовой техникой, получены статистические данные о числе проданных холодильников в каждый день месяца (условно считаем, что месяц состоит из 30 рабочих дней). Эти данные собраны в таблицу:
По этой таблице легко подсчитать число холодильников, проданных в магазине за месяц: 0×3+1×7+2×8+3×9+4×2+5×1 = 63. Чтобы подсчитать среднее число холодильников, продававшихся в один день месяца, нужно эту сумму разделить на 30, в результате получим 2,1. Если в приведенной таблице каждое число второй строки поделить на 30, то получится последовательность дробей , каждая из которых представляет собой так называемую относительную частоту, с которой в данный месяц появлялся приведенный в верхней строке объём продаж. Очевидно, что если просуммировать все произведения чисел, стоящих в первой строке таблицы, на их относительные частоты, то получится то же среднее число продававшихся в один день холодильников: Если бы в последней формуле относительные частоты рассчитывались не для одного месяца, а для существенно большего срока, то при некоторых условиях (например, при отсутствии кризисных явлений, существенно влияющих на спрос населения на дорогостоящие товары) эти относительные частоты можно было бы считать довольно близкими к вероятностям соответствующих значений объёма продаж. Таким образом, приходим к выводу, что математическое ожидание случайной величины – это в некотором смысле её среднее значение. Следует отметить, что случайная величина может вообще не принимать значения, равного её математическому ожиданию. Так, например, случайная величина, принимающая только значения 1 и –1, каждое – с вероятностью 0,5, имеет математическое ожидание, равное нулю. Пример. Найти математическое ожидание случайной величины, заданной законом распределения
Здесь p + q = 1, Mx = 1×р + 0×q = р Свойства математического ожидания: 1. Если случайная величина x принимает одно и то же значение при всех исходах случайного эксперимента, то есть x º С, то её математическое ожидание равно С. 2. Если Мx = а, и k – константа, то М(kx) = kа (математическое ожидание случайной величины, умноженной на число, равно математическому ожиданию случайной величины, умноженному на это число). 3. Если Мx = а, и k – константа, то М(k + x) = k + а (математическое ожидание суммы случайной величины и числа равно сумме этого числа и математического ожидания случайной величины). Выведем формулу для математического ожидания суммы двух случайных величин x и h, определённых на одном и том же пространстве элементарных исходов и заданных законами распределения
М(x + h) = (х1 + у1)Р((x = х1) ∩ (h = у1))+ (х2 + у1)Р((x = х2) ∩ (h = у1)) +¼ Очевидно, что сумма в правой части последней формулы содержит nk слагаемых. После преобразований она выглядит следующим образом: М(x + h) = Mx + Mh При выводе этой формулы использован очевидный факт, что, например, событие x=х1 можно представить в виде объединения несовместных событий (x=х1)∩(h=у1), (x=х1)∩(h=у2), ¼, (x=х1)∩(h=уn). Пример. Заданы n одинаково распределённых случайных величин x1, x2, ¼, xn с законом распределения
Найти математическое ожидание суммы этих случайных величин. Решение. M( ) = = np
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (476)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |