Тема 9.7. Непрерывные случайные величины. Плотность и функция распределения случаной величины
Случайная величина, значения которой заполняют некоторый промежуток, называется непрерывной. В частных случаях это может быть не один промежуток, а объединение нескольких промежутков. Промежутки могут быть конечными, полубесконечными или бесконечными, например: (a; b], (–µ ; a), [b;µ), (–µ; µ). Вообще непрерывная случайная величина – это абстракция. Снаряд, выпущенный из пушки, может пролететь любое расстояние, скажем, от 5 до 5,3 километров, но никому не придёт в голову измерять эту величину с точностью до 0,0000001 километра (то есть до миллиметра), не говоря уже об абсолютной точности. В практике такое расстояние будет дискретной случайной величиной, у которой одно значение от другого отличается по крайней мере на 1 метр. При описании непрерывной случайной величины принципиально невозможно выписать и занумеровать все её значения, принадлежащие даже достаточно узкому интервалу. Эти значения образуют несчётное множество, называемое «континуум». Если x – непрерывная случайная величина, то равенство x = х представляет собой, как и в случае дискретной случайной величины, некоторое случайное событие, но для непрерывной случайной величины это событие можно связать лишь с вероятностью, равной нулю, что однако не влечёт за собой невозможности события. Так, например, можно говорить, что только с вероятностью «нуль» снаряд пролетит 5245,7183 метра, или что отклонение действительного размера детали от номинального составит 0,001059 миллиметра. В этих случаях практически невозможно установить, произошло событие или нет, так как измерения величин проводятся с ограниченной точностью, и в качестве результата измерения можно фактически указать лишь границы более или менее узкого интервала, внутри которого находится измеренное значение. Вероятность, отличная от нуля, может быть связана только с попаданием величины в заданный, хотя бы и весьма узкий, интервал. Здесь можно привести сравнение с распределением массы вдоль стержня. Отсутствует масса, сосредоточенная, скажем, в сечении, расположенном на расстоянии 20 см от левого конца стержня, имеет смысл говорить лишь о массе, заключённой между сечениями, проходящими через концы некоторого промежутка. Пусть x – непрерывная случайная величина. Рассмотрим для некоторого числа х вероятность неравенства х < x < х + Dх P(х < x < х + Dх). Здесь Dх – величина малого интервала. Очевидно, что если Dх ® 0, то P(х < x < х + Dх)® 0. Обозначим р(х) предел отношения P(х < x < х + Dх) к Dх при Dх ® 0, если такой предел существует: (9.7.1) Функция р(х) называется плотностью распределения случайной величины. Из формулы (9.7.1) следует равенство, справедливое для малых величин Dх, которое также можно считать определением функции р(х): P(х < x < х + Dх) p(x)Dх (9.7.2) Очевидно, что p(x) – неотрицательная функция. Для определения вероятности того, что случайная величина x примет значение из промежутка [a, b] конечной длины, нужно выбрать на промежутке произвольные числа x1, х2,¼, хn удовлетворяющие условию а=х0<х1<x2<¼<xn<b=xn+1. Эти числа разобьют промежуток [a, b] на n+1 частей, представляющих собой промежутки [х0, х1), [х1, х2), ¼,[хn, b]. Введём обозначения: Dх0= х1 – х0, Dх1= х2 – х1, ¼, Dхn = b – хn, и составим сумму . Рассмотрим процесс, при котором число точек разбиения неограниченно возрастает таким образом, что максимальная величина Dхi стремится к нулю. Будем считать функцию p(x) непрерывной на промежутке (а; b), тогда пределом суммы будет определённый интеграл по промежутку [a; b] от функции p(x), равный искомой вероятности: P(a £ x £ b) = (9.7.3)
Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а; b), то для р(х) – её плотности распределения справедливо равенство (9.7.4) Для удобства иногда считают функцию р(х) определённой для всех значений х, полагая её равной нулю в тех точках х, которые не являются возможными значениями этой случайной величины. Плотностью распределения может служить любая интегрируемая функция р(х), удовлетворяющая двум условиям: 1) р(х) ³ 0; 2) Последнее свойство называется свойством нормировки. Можно задавать случайную величину, задавая функцию р(х), удовлетворяющую этим условиям. В качестве примера рассмотрим случайную величину x, равномерно распределённую на промежутке [a; b]. В этом случае р(х) постоянна внутри этого промежутка: По свойству 2) функции р(х) Отсюда . График функции р(х) представлен на рисунке 9.7.2.
Во многих практических задачах встречаются случайные величины, у которых возможные значения не ограничены сверху и снизу. В этом случае кривая распределения располагается над осью х и при х ® ¥ и х ® – ¥ асимптотически приближается к этой оси, как изображено на рисунке 9.7.1. Вероятность того, что случайная величина x примет значение, меньшее некоторого числа а, равна площади фигуры, заключённой между кривой распределения и горизонтальной координатной осью слева от точки а. Будем считать, что такая площадь существует. Пусть x – непрерывная случайная величина. Функция F(x), которая определяется равенством , (9.7.5) называется интегральной функцией распределения или просто функцией распределения случайной величины x. Непосредственно из определения следует равенство . Формула производной определённого интеграла по верхнему пределу в данном случае приводит к соотношению . Плотность распределения р(х) называют дифференциальной функцией распределения. Функция распределения F(x) случайной величины x имеет следующие свойства. 1. F(x) — непрерывная возрастающая функция. 2. ; Свойства 1 и 2 вытекают непосредственно из определения функции F(x). 3. Приращение F(x) на промежутке (х1; х2) равно вероятности того, что случайная величина x принимает значение из этого промежутка: F(x2) – F(x1) = P(x1 < x £ x2) Доказательство. F(x2) = P(x £ x2) = P(x £ x1) + P(x1 < x £ x2) = F(x1) + P(x1 < x £ x2) Отсюда P(x1 < x £ x2) = F(x2) – F(x1) Заметим, что для непрерывной случайной величины x справедливы равенства P(x1 < x £ x2) = P(x1 < x < x2) = P(x1 £ x < x2) = P(x1 £ x £ x2) Для равномерного распределения функция F(x) имеет вид:
График функции F(x) представлен на рисунке 9.7.3. Закон распределения непрерывной случайной величины можно определить заданием либо функции р(х), либо функции F(x). Функцию распределения F(x) можно построить и для дискретной случайной величины x, если задан закон распределения этой случайной величины. Пусть задана дискретная случайная величина x с законом распределения
Построим функцию F(x), используя определение F(x) = P(x £ x).
График функции F(x) изображён на рисунке 9.7.4. Очевидно, что закон распределения дискретной случайной величины можно задать с помощью таблицы, где каждому значению этой случайной величины ставится в соответствие вероятность, или с помощью функции распределения.
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (557)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |