Зависимость и независимость двух случайных величин

Пусть две случайные величины

x = {x₁,x₂,¼,x_n}; h = {у₁, у₂,¼,у_m} (9.6.1)

определены на одном и том же пространстве элементарных исходов. Если А_i (i = 1,2,¼,n) – событие, объединяющее все исходы, приводящие к значению х_i случайной величины x, а В_j (j = 1,2,¼,m) – событие, объединяющее все исходы, приводящие к значению у_i случайной величины h, то можно определить случайную величину z = x + h, которая принимает все возможные значения = x_i + y_j. Каждому такому значению случайной величины z ставится в соответствие вероятность , равная вероятности пересечения событий А_i и В_j:

= P(A_i∩B_j).

Таким образом определяется закон распределения суммы двух случайных величин. Также можно определить законы распределения разности x – h, произведения xh и частного случайных величин (последний – лишь в случае, если h не принимает нулевого значения).

Две случайные величины

x = {x₁,x₂,¼,x_n}; h = {у₁, у₂,¼,у_m},

определённые на одном и том же пространстве элементарных исходов, имеющие законы распределения

x	х1	¼	xi	¼		h	y1	¼	yj	¼
Р		¼		¼		Р		¼		¼

называются независимыми, если при любых i и j выполняется равенство

Р((x = х_i) ∩ (h = y_j)) =

Если это равенство не выполняется хотя бы для одной пары х_i, y_j, то случайные величины x и h называются зависимыми.

Пример1. Брошены две игральных кости. Число очков, выпавшее на первой кости, – случайная величина x. Число очков, выпавшее на второй кости – случайная величина h. Считаем, что все исходы ((x = i)∩(h = j)) (i = 1,2,¼,6; j = 1,2, ¼,6) равновероятны, всего их 36, поэтому

P((x = i)∩(h = j)) =

Так как P(x = i) = и P(h = j)) = , очевидно, что по определению x и h – независимые случайные величины.

Пример 2. Даны две независимые случайные величины x и h с заданными законами распределения

x				h
Р				Р

Определим случайные величины a и b следующим образом: a = x + h, b = xh. Выясним, являются ли независимыми случайные величины a и b.

Составим закон распределения a. Наименьшее значение a равняется 1. Вероятность события a = 1 равна вероятности события (x = 0)∩(h = 1), которая в силу независимости x и h равна . Событие a = 2 совпадает с событием ((x = 0)∩(h = 2)) ((x = 1)∩(h = 1)). Его вероятность равна

.

Максимальное значение a, равное 3, имеет вероятность . Таким образом, закон распределения случайной величины a можно представить таблицей

a
Р

Закон распределения b представляется таблицей

b
Р

Рассмотрим события a = 3 и b = 0. Очевидно, что

Р(a = 3) Р(b = 0) =

С другой стороны, событие (a = 3)∩(b = 0) – невозможное, так как a = 3 только при x = 1, а b = 0 лишь при x = 0. Отсюда следует, что

Р((a = 3)∩(b = 0)) = 0,

и теперь ясно, что, по крайней мере, в одном случае условие определения независимости для случайных величин a и b не выполняется. Отсюда следует, что эти случайные величины зависимы.