Непрерывность функции в точке

Бесконечно большая функция

Функция у=ƒ(х) называется бесконечно большой при х→х0, если для любого числа М>0 существует число δ=δ(М)>0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<|х-хо|<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)|>М.

БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ

Функция у=f(х) назівается бесконечно малой при х→x0,если

ТЕОРЕМА 1:Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

ТЕОРЕМА 2: Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая.

ТЕОРЕМА 3: Если функция α(х) — бесконечно малая (α¹ 0), то функция 1/α(х) есть бесконечно большая функция и наоборот: если функция ƒ(х)— бесконечно большая, то 1/ƒ(х) — бесконечно малая.

А это означает, что функция 1/α(х) есть бесконечно большая. Аналогично доказывается обратное α(х) утверждение.

ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ

1)Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов:

2) Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:

где α(х) и ß(х) — б.м.ф. Следовательно,

Выражение в скобках есть б.м.ф. Поэтому

3) Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:

Второе слагаемое есть б.м.ф. как частное от деления б.м.ф. на функцию, имеющую отличный от нуля предел.

ПРИЗНАКИ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРЕДЕЛА

1)Если функция ƒ(х) заключена между двумя функциями φ(х) и g(х), стремящимися к одному и тому же пределу, то она также стремится к этому пределу, т. е. если

▼Из равенств (17.6) вытекает, что для любого ε>0 существуют две окрестности δ1 и δ2 точки хо, в одной из которых выполняется неравенство |φ(х)-А|<ε, т. е.

-ε<φ(х)-А<ε, (17.8)

а в другой |g(х)-А|<ε, т. е.

-ε<g(х)-А<ε. (17.9)

Пусть δ — меньшее из чисел δ1 и δ2. Тогда в δ-окрестности точки x0 выполняются оба неравенства (17.8) и (17.9).Из неравенств (17.7) находим, что

φ(x)-A≤f(x)-A≤g(x)-A (17.10)

С учетом неравенств (17.8) и (17.9) из неравенства (17.10) следуют неравенства -ε<ƒ(х)-А<ε или |ƒ(х)-А|<ε.

Мы доказали, что

" ε>0 $ δ>0 " x: 0<|х-х0|<δ Þ |ƒ(х)-А|<ε,

то есть lim ƒ(х)=А при х –> x0.

2) Если f(x) монотонна и ограничена при х<хо или при х>хо, то существует соответственно ее левый предел или ее правый предел

Непрерывность функции в точке

Пусть функция у=ƒ(х) определена в точке хо и в некоторой окрестности этой точки. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х0, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т. е.

Равенство (19.1) означает выполнение трех условий:

1) функция ƒ (х) определена в точке x0 и в ее окрестности;

2) функция ƒ(х) имеет предел при х→хо;

3) предел функции в точке хо равен значению функции в этой точке, т. е. выполняется равенство (19.1).

Так как то равенство (19.1) можно записать в виде

Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции ƒ(х) можно перейти к пределу под знаком функции, то есть β функцию ƒ(х) вместо аргумента х подставить его предельное значение хо.

Например, . В первом равенстве функция и предел поменялись местами (см. (19.2)) в силу непрерывности функции е в степени x .