Геометрический и физический смысл определенного интеграла

Работа переменной силы

Пусть материальная точка М перемещается под действием силы F, направленной вдоль оси Ох и имеющей переменную величину F = F(x), где х—абсцисса движущейся точки М.

Найдем работу А силы F по перемещению точки М вдоль оси Ох из точки х = а в точку

х = b (а < b). Для этого отрезок [а; b] точками а = х0, х1, ..., b = хn (х0 < x1 < ... < хn) разобьем на n частичных отрезков [х0; x1], [x1; x2],..., [xn-1; xn]. Сила, действующая на отрезке [xi-1; xi], меняется от точки к точке. Но если длина отрезка Δхi = хi-xi-1 достаточно мала, то сила F на этом отрезке изменяется незначительно. Ее можно приближенно считать постоянной и равной значению функции F = F(x)в произвольно выбранной точке х = ci Î [xi-1; xi]. Поэтому работа, совершенная этой силой на отрезке [xi-1;xi], равна произведению F(ci)•Δхi (Как работа постоянной силы F(ci) на участке [xi-1; xi].)

Приближенное значение работы А силы F на всем отрезке [а; b] есть

Это приближенное равенство тем точнее, чем меньше длина Δхi Поэтому за точное значение работы А принимается предел суммы (36.1) при условии, что наибольшая длина λ частичных отрезков стремится к нулю:

Итак, работа переменной силы F , величина которой есть непрерывная функция F = F(x), действующей на отрезке [а; b], равна определенному интегралу от величины F(x) силы, взятому по отрезку [а; b].

В этом состоит физический смысл определенного интеграла.

Аналогично можно показать, что путь S, пройденный точкой за промежуток времени от t=а до t=b, равен определенному интегралу от скорости v(t):

масса m неоднородного стержня на отрезке [a,b] равна определенному интегралу от плотности g(х):