Формула Ньютона-Лейбница. Простым и удобным методом вычисления определенного интеграла от непрерывной функции
Простым и удобным методом вычисления определенного интеграла от непрерывной функции является формула Ньютона-Лейбница: Применяется этот метод во всех случаях, когда может быть найдена первообразная функции F(x) для подынтегральной функции ƒ (х). Например, При вычисленииопределенных интегралов широко используется метод замены переменной и метод интегрирования по частям. Интегрирование подстановкой (заменой переменной) Пусть для вычисления интеграла от непрерывной функции
сделана подстановка х = φ(t). Теорема 39.1. Если: 1) функция х = φ(t) и ее производная х' = φ'(t) непрерывны при t є [а;β]; 2) множеством значений функции х = φ(t) при t є [а,β] является отрезок [а; b]; 3) φ(а)=а и φ(β)=b. то ▼Пусть F(x) есть первообразная для ƒ(х) на отрезке [а;b]. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница Так как (F(φ(t))' = f(φ(t)) - φ'(t),то F(φ(t)) является первообразной для функции f(φ(t)) -φ'(t), t Î [а;β]. Поэтому по формуле Ньютона—Лейбница имеем ▲ Формула (39.1) называется формулой замены переменной в определенном интеграле. Отметим, что: 1) при вычислении определенного интеграла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется; 2) часто вместо подстановки х = φ(t) применяют подстановку t = g(x); 3) не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных!
Пример 39.1. Вычислить Решение: Положим х = 2 sin t, тогда dx = 2 cos t dt. Если х=0, то t = 0; если x = 2, то t =. Поэтому Интегрирование по частям Теорема 39.2. Если функции u = u(х) и v = v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [а; b], то имеет место формула ▼На отрезке [а; b] имеет место равенство (uv)' = u'v+uv'. Следовательно, функция uv есть первообразная для непрерывной функции u'v+uv'. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница имеем: Следовательно, ▲ Формула (39.2) называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла. Пример 39.2. Вычислить Решение: Положим Применяя формулу (39.2), получаем Пример 39.3. Вычислить интеграл Решение: Интегрируем по частям. Положим Поэтому Интегрирование четных и нечетных функций в симметричных пределах Пусть функция ƒ(х) непрерывна на отрезке [-а; а], симметричном относительно точки х = 0. Докажем, что ▼Разобьем отрезок интегрирования [-а; а] на части [-а; 0] и [0; а]. Тогда по свойству аддитивности В первом интеграле сделаем подстановку х = -t. Тогда (согласно свойству: «определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования»). Возвращаясь к равенству (39.4), получим Если функция ƒ(х) четная (ƒ(-х) = ƒ(х)), то ƒ(-х) + ƒ(х) = 2ƒ(х); если функция ƒ(х) нечетная (ƒ(-х) = - ƒ(х)), то ƒ(-х) + ƒ(х) = 0. Следовательно, равенство (39.5) принимает вид (39.3).▲ Благодаря доказанной формуле можно, например, сразу, не производя вычислений, сказать, что
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (579)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |