Основные свойства определенного интеграла
Рассмотрим основные свойства определенного интеграла, считая подынтегральную функцию интегрируемой на отрезке [a;b]. При выводе свойств будем использовать определение интеграла и формулу Ньютона-Лейбница. 1). Если с — постоянное число и функция ƒ(х) интегрируема на [a;b],то т. е. постоянный множитель с можно выносить за знак определенного интеграла. ▼Составим интегральную сумму для функции с • ƒ(х). Имеем: Тогда отсюда вытекает, что функция с • ƒ(х) интегрируема на [а; b] и справедлива формула (38.1).▲ 2). Если функции ƒ1(х)иƒ2(х) интегрируемы на [а;b], тогда интегрируема на [а; b] их сумма u т. е. интеграл от суммы равен сумме интегралов. Свойство 2 распространяется на сумму любого конечного числа слагаемых. 3) . Это свойство можно принять по определению. Это свойство также подтверждается формулой Ньютона-Лейбница. 4). Если функция ƒ(х) интегрируема на [а; b] и а < с < b, то т. е. интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по частям этого отрезка. Это свойство называют аддитивностью определенного интеграла (или свойством аддитивности). При разбиении отрезка [а;b] на части включим точку с в число точек деления (это можно сделать ввиду независимости предела интегральной суммы от способа разбиения отрезка [а; b] на части). Если с = хm, то интегральную сумму можно разбить на две суммы: Каждая из написанных сумм является интегральной соответственно для отрезков [а; b], [а; с]и[с; b]. Переходя к пределу в последнем равенстве при n → ∞ (λ → 0), получим равенство (38.3). Свойство 4 справедливо при любом расположении точек а, b, с (считаем, что функция ƒ (х) интегрируема на большем из получающихся отрезков). Так, например, если а < b < с, то Отсюда (использованы свойства 4 и 3). 5). «Теорема о среднем». Если функция ƒ(х) непрерывна на отрезке [а; b], то существует точка с є [а; b] такая, что
▼По формуле Ньютона-Лейбница имеем где F'(x) = ƒ(х). Применяя к разности F(b)-F(a) теорему Лагранжа (теорему о конечном приращении функции), получим F(b)-F(a) = F'(c)•(b-а) = ƒ(с)•(b-а).▲ Свойство 5 («теорема о среднем») при ƒ (х) ≥ 0 имеет простой геометрический смысл: значение определенного интеграла равно, при некотором с є (а; b), площади прямоугольника с высотой ƒ (с) и основанием b- а (см. рис. 170). Число называется средним значением функции ƒ(х) на отрезке [а; b]. 6). Если функция ƒ (х) сохраняет знак на отрезке [а; b], где а < b, то интеграл имеет тот же знак, что и функция. Так, если ƒ(х)≥0 на отрезке [а; b], то ▼По «теореме о среднем» (свойство 5) где с є [а; b]. А так как ƒ(х) ≥ 0 для всех х Î [а; b], то и ƒ(с)≥0, b-а>0. Поэтому ƒ(с)•(b-а) ≥ 0, т. е.▲ 7). Неравенство между непрерывными функциями на отрезке [а; b], (a<b) можно интегрировать. Так, если ƒ1(x)≤ƒ2(х) при х є [а;b], то ▼Так как ƒ2(х)-ƒ1(x)≥0, то при а < b, согласно свойству 6, имеем Или, согласно свойству 2, ▲ Отметим, что дифференцировать неравенства нельзя. 8). Оценка интеграла. Если mиМ — соответственно наименьшее и наибольшее значения функции у = ƒ (х) на отрезке [а; b], (а < b),то
▼Так как для любого х є [а;b] имеем m≤ƒ(х)≤М, то, согласно свойству 7, имеем
Применяя к крайним интегралам свойство 5, получаем ▲ Если ƒ(х)≥0, то свойство 8 иллюстрируется геометрически: площадь криволинейной трапеции заключена между площадями прямоугольников, основание которых есть [a;b], а высоты равны m и М(см. рис. 171). 9). Модуль определенного интеграла не превосходит интеграла от модуля подынтегральной функции: ▼ Применяя свойство 7 к очевидным неравенствам -|ƒ(х)|≤ƒ(х)≤|ƒ(х)|, получаем Отсюда следует, что ▲ 10). Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена этим пределом, т. е. ▼ По формуле Ньютона-Лейбница имеем: Следовательно, ▲ Это означает, что определенный интеграл с переменным верхним пределом есть одна из первообразных подинтегральной функции.
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (776)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |